Теорема Фугледе
Теорема (Фугледе) . Пусть T и N — ограниченные операторы в комплексном гильбертовом пространстве, где N — нормальный оператор . Если TN = NT , то TN* = N*T , где N* обозначает примыкание к N .
Нормальность N необходима, как это видно из принятия T = N . Когда T является самосопряженным, утверждение тривиально независимо от того, является ли N нормальным:
Предварительное доказательство : если базовое гильбертово пространство конечномерно, спектральная теорема говорит, что N имеет форму
В общем, когда гильбертово пространство не является конечномерным, нормальный оператор N порождает проекционнозначную меру P на его спектре, σ ( N ), которая сопоставляет проекцию P Ω каждому борелевскому подмножеству σ ( N ) . N можно выразить как
В отличие от конечномерного случая, совсем не очевидно, что TN = NT влечет TP Ω = P Ω T . Таким образом, не столь очевидно, что T также коммутирует с любой простой функцией вида
В самом деле, следуя построению спектрального разложения для ограниченного, нормального, не самосопряженного оператора T , видно, что для проверки коммутативности T с , проще всего предположить, что T коммутирует как с N , так и с N* , порождая порочный круг!
