Уравнение баланса

---

В теории вероятностей уравнение баланса — это уравнение , описывающее поток вероятностей, связанный с цепью Маркова в состояниях или наборе состояний и вне их. ^[1]

Уравнения глобального баланса (также известные как уравнения полного баланса ^[2] ) представляют собой набор уравнений, характеризующих равновесное распределение (или любое стационарное распределение) цепи Маркова, когда такое распределение существует.

Для цепи Маркова с непрерывным временем с пространством состояний , скоростью перехода из состояния в состояние, заданным выражением , и равновесным распределением, заданным выражением , уравнения глобального баланса имеют вид ^[3]${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle я}$${\ Displaystyle j}$${\ displaystyle q_ {ij}}$${\ Displaystyle \ пи}$

для всех . Здесь представлен поток вероятности из состояния в состояние . Таким образом, левая часть представляет собой общий поток из состояния i в состояния, отличные от i , а правая часть представляет собой общий поток из всех состояний в состояние . В общем, решить эту систему уравнений для большинства моделей массового обслуживания сложно с вычислительной точки зрения. ^[4]${\displaystyle i\in S}$${\displaystyle \pi _{i}q_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j\neq i}$${\displaystyle i}$

Для цепи Маркова с непрерывным временем (CTMC) с матрицей скоростей переходов можно найти такое, что для каждой пары состояний и${\displaystyle Q}$${\displaystyle \pi _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

то при суммировании по удовлетворяются уравнения глобального баланса и является стационарным распределением процесса. ^[5] Если такое решение может быть найдено, полученные уравнения обычно намного проще, чем непосредственное решение уравнений глобального баланса. ^[4]${\displaystyle j}$${\displaystyle \pi }$

---