Лемма Гордана

---

Лемма Гордана — лемма выпуклой геометрии и алгебраической геометрии . Это можно выразить несколькими способами.

Лемма названа в честь математика Поля Гордана (1837–1912). Некоторые авторы неправильно написали это как «лемму Гордона».

Пусть – двойственный конус данному рациональному многогранному конусу. Пусть – целые векторы, так что Тогда 's порождают двойственный конус ; действительно, записывая C для конуса, порожденного 's, мы имеем: , что должно быть равенством. Теперь, если x находится в полугруппе${\ displaystyle \ сигма }$${\displaystyle u_{1},\dots,u_{r}}$${\displaystyle \sigma =\{x\mid \langle u_ {i},x\rangle \geq 0,1\leq i\leq r\}.}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle \sigma ^{\vee }}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle \sigma \subset C^{\vee }}$

где – целые неотрицательные числа и . Но поскольку x и первая сумма в правой части являются целыми, вторая сумма представляет собой точку решетки в ограниченной области, и поэтому существует только конечное число возможностей для второй суммы (топологическая причина). Следовательно, конечно порождено.${\displaystyle n_ {i}}$${\displaystyle 0\leq r_ {i}\leq 1}$${\displaystyle S_{\sigma }}$

Доказательство ^[3] основано на том факте, что полугруппа S конечно порождена тогда и только тогда, когда ее полугрупповая алгебра является конечно порожденной алгеброй над . Для доказательства леммы Гордана по индукции (ср. доказательство выше) достаточно доказать следующее утверждение: для любой подполугруппы S с единицей ,${\displaystyle \mathbb {C} [S]}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$

Поставьте , у которого есть основа . Он имеет оценку, заданную${\displaystyle A=\mathbb {C} [S]}$${\displaystyle \chi ^{a},\,a\in S}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

---