Грайсмер связан

---

В математике теории кодирования граница Грисмера , названная в честь Джеймса Хьюго Гризмера, представляет собой границу длины линейных двоичных кодов размерности k и минимального расстояния d . Существует также очень похожая версия для недвоичных кодов.

Обозначим через минимальную длину двоичного кода размерности k и расстояния d . Пусть C — такой код. Мы хотим показать, что ${\ Displaystyle Н (к, д)}$

Пусть G порождающая матрица C . Мы всегда можем предположить, что первая строка G имеет вид r  = (1,..., 1, 0,..., 0) с весом d .

Матрица порождает код , который называется остаточным кодом, очевидно, имеет размерность и длину , имеет расстояние, но мы его не знаем. Пусть такое, что . Существует вектор такой, что конкатенация Тогда С другой стороны, также поскольку и является линейной: Но${\ Displaystyle Г'}$${\ Displaystyle С'}$${\ Displaystyle С.}$ ${\ Displaystyle С'}$${\ Displaystyle к '= к-1}$${\ Displaystyle п '= Н (к, д) -д.}$ ${\ Displaystyle С'}$${\ Displaystyle д',}$${\ Displaystyle и \ в C '}$${\ Displaystyle ш (и) = д '}$${\ Displaystyle v \ в \ mathbb {F} _ {2} ^ {d}}$${\ Displaystyle (v | и) \ в С.}$${\ Displaystyle ш (v) + ш (и) = ш (v | и) \ geqslant d.}$${\ Displaystyle (v | и) + г \ в C,}$${\ Displaystyle г \ в C}$${\ Displaystyle С}$${\ Displaystyle ш ((v | и) + г) \ geqslant д.}$

---