Для каждого нет ненулевого многочлена такой, что
где это гамма-функция .
Например, определите от
Тогда уравнение
называется алгебраическим дифференциальным уравнением , которое в этом случае имеет решения а также - функции Бесселя первого и второго рода соответственно. Следовательно, мы говорим, что а также являются дифференциально алгебраическим (также алгебраически трансцендентным ). Большинство известных специальных функций математической физики являются дифференциально-алгебраическими. Все алгебраические комбинации дифференциально-алгебраических функций являются дифференциально-алгебраическими. Кроме того, все композиции дифференциально-алгебраических функций дифференциально-алгебраичны. Теорема Гёльдера просто утверждает, что гамма-функция,, не является дифференциально-алгебраической и, следовательно, трансцендентно трансцендентной . [2]
Позволять и предположим, что ненулевой многочлен существует такое, что
Как ненулевой многочлен от никогда не может привести к нулевой функции на любой непустой открытой области (по основной теореме алгебры), без ограничения общности можно предположить, что содержит мономиальный член, имеющий ненулевую степень одного из неопределенных .
Предположим также, что имеет наименьшую возможную общую степень в отношении лексикографического упорядочения Например,
потому что высшая сила в любом одночлене первого многочлена меньше, чем второго многочлена.
Затем обратите внимание на то, что для всех у нас есть:
Если мы определим второй многочлен преобразованием
то получим следующее алгебраическое дифференциальное уравнение для :
Кроме того, если является мономом наивысшей степени в , то мономиальный член наивысшей степени в является
Следовательно, многочлен
имеет меньшую общую степень, чем , и поскольку он явно приводит к алгебраическому дифференциальному уравнению для , он должен быть нулевым многочленом по предположению минимальности . Следовательно, определяя от
мы получили
Теперь позвольте в чтобы получить
Тогда замена переменных дает
и применение математической индукции (наряду с заменой переменных на каждом шаге индукции) к более раннему выражению
показывает, что
Это возможно только в том случае, если делится на , что противоречит предположению минимальности . Следовательно, нет таких существует, и поэтому не является дифференциально-алгебраическим. [2] [3] QED