Метод Харди Кросса

Пример трубопроводной сети

Метод Харди Кросса - это итерационный метод определения потока в системах трубопроводной сети, где входы и выходы известны, но поток внутри сети неизвестен. ^[1] Метод был впервые опубликован в ноябре 1936 года его тезкой Харди Кроссом , профессором структурной инженерии Иллинойского университета в Урбане-Шампейне . ^[2] Метод Харди Кросса является адаптацией метода распределения моментов , который также был разработан Харди Кроссом как способ определения сил в статически неопределимых конструкциях.

Внедрение метода Харди Кросса для анализа трубопроводных сетей произвело революцию в проектировании муниципального водоснабжения . До внедрения этого метода решение сложных систем трубопроводов для распределения было чрезвычайно трудным из-за нелинейной зависимости между потерей напора и расходом. Позже метод был устаревшим из-за компьютерных алгоритмов решения, использующих метод Ньютона – Рафсона или другие численные методы, которые устраняют необходимость решать нелинейные системы уравнений вручную.

История [ править ]

В 1930 году Харди Кросс опубликовал статью под названием «Анализ непрерывных рам путем распределения фиксированных моментов», в которой он описал метод распределения моментов , который изменит способ проведения инженеров в этой области структурного анализа. ^[3] Метод распределения моментов использовался для определения сил в статически неопределимых конструкциях и позволял инженерам безопасно проектировать конструкции с 1930-х по 1960-е годы до компьютерно-ориентированных методов. ^[3] В ноябре 1936 года Кросс применил тот же геометрический метод к решению задач распределения потока в трубопроводной сети и опубликовал статью под названием «Анализ потока в сетях трубопроводов или проводников». ^[1]

Вывод [ править ]

Метод Харди Кросса - это применение непрерывности потока и непрерывности потенциала для итеративного решения потоков в трубопроводной сети. ^[1] В случае потока в трубе сохранение потока означает, что входящий поток равен выходному потоку на каждом стыке в трубе. Сохранение потенциала означает, что общая направленная потеря напора вдоль любого контура в системе равна нулю (при условии, что потеря напора, считая против потока, на самом деле является приростом напора).

Харди Кросс разработал два метода решения потоковых сетей. Каждый метод начинается с поддержания непрерывности потока или потенциала, а затем итеративно решает другой.

Предположения [ править ]

Метод Харди Кросса предполагает, что поток, входящий в систему и выходящий из нее, известен и что длина, диаметр, шероховатость и другие ключевые характеристики трубы также известны или могут предполагаться. ^[1] Метод также предполагает, что связь между расходом и потерей напора известна, но метод не требует использования какой-либо конкретной связи. ^[1]

В случае потока воды по трубам был разработан ряд методов для определения взаимосвязи между потерей напора и расходом. Метод Харди Кросса позволяет использовать любое из этих соотношений.

Общая взаимосвязь между потерей напора и расходом такова:

${\ displaystyle h_ {f} = к \ cdot Q ^ {n}}$

где k - потеря напора на единицу расхода, а n - показатель степени расхода. В большинстве проектных ситуаций значения, составляющие k , такие как длина, диаметр и шероховатость трубы, считаются известными или предполагаемыми, и, таким образом, значение k может быть определено для каждой трубы в сети. Значения, составляющие k, и значение n изменяются в зависимости от отношения, используемого для определения потери напора. Однако все соотношения совместимы с методом Харди Кросса. ^[4]

Уравнение потери напора	Связь	k	п
Уравнение Хазена-Вильямса	${\ displaystyle h_ {f} = L \ cdot {\ frac {10.67 \ quad Q ^ {1.85}} {C ^ {1.85} \ quad d ^ {4.87}}}}$	${\ displaystyle L \ cdot {\ frac {10.67} {C ^ {1.85} \ quad d ^ {4.87}}}}$	1,85
Уравнение Дарси-Вейсбаха	${\ displaystyle h_ {f} = {\ frac {8fLQ ^ {2}} {g \ pi ^ {2} d ^ {5}}}}$	${\ displaystyle L \ cdot {\ frac {8f} {g \ pi ^ {2} d ^ {5}}}}$	2

Также стоит отметить, что метод Харди Кросса можно использовать для решения простых схем и других потоковых ситуаций. В случае простых схем

${\ Displaystyle V = K \ cdot I}$

эквивалентно

${\ displaystyle h_ {f} = к \ cdot Q ^ {n}}$.

Установив коэффициент k равным K, расход Q равным I и показатель степени n равным 1, метод Харди Кросса можно использовать для решения простой схемы. Однако, поскольку зависимость между падением напряжения и током является линейной, метод Харди Кросса не нужен, и схема может быть решена с использованием неитерационных методов.

Метод балансировки головок [ править ]

Метод уравновешивания головок использует начальное предположение, которое удовлетворяет непрерывность потока на каждом стыке, а затем уравновешивает потоки до тех пор, пока непрерывность потенциала не будет также достигнута по каждому контуру в системе. ^[1]

Доказательство (r означает k) [ править ]

Следующее доказательство взято из статьи Харди Кросса «Анализ потока в сетях трубопроводов или проводов», ^[1] и может быть проверено Национальной программой по усовершенствованным технологиям обучения водоснабжению и очистке сточных вод, страница ^[4] и Основы гидравлики. Инженерные системы Роберта Дж. Хуталена. ^[5]

Если первоначальное предположение о расходах в каждой трубе верное, изменение напора в контуре в системе будет равно нулю. Однако, если первоначальное предположение неверно, тогда изменение напора будет отличным от нуля, и необходимо применить изменение потока . Новый расход представляет собой сумму старого расхода и некоторого изменения расхода, так что изменение напора в контуре равно нулю. Сумма изменения напора по новому циклу будет тогда .${\ Displaystyle \ Sigma rQ ^ {п}}$${\ displaystyle \ Delta Q}$${\ displaystyle Q = Q_ {0} + \ Delta Q}$${\ Displaystyle \ Sigma г (Q_ {0} + \ Delta Q) ^ {п} = 0}$

Значение можно приблизительно оценить с помощью разложения Тейлора .${\ Displaystyle \ Sigma г (Q_ {0} + \ Delta Q) ^ {п}}$

${\displaystyle \Sigma r(Q_{0}+\Delta Q)^{n}=\Sigma r(Q_{0}^{n}+nQ_{0}^{n-1}\Delta Q+...)=0}$

Для небольшого по сравнению с дополнительными терминами исчезают, оставляя:${\displaystyle \Delta Q}$${\displaystyle Q_{0}}$

${\displaystyle \Sigma r(Q_{0}^{n}+nQ_{0}^{n-1}\Delta Q)=0}$

И решение для ${\displaystyle \Delta Q}$

${\displaystyle \Sigma rQ_{0}^{n}=-\Sigma nrQ_{0}^{n-1}\Delta Q}$

${\displaystyle \Delta Q=-{\frac {\Sigma rQ_{0}^{n}}{\Sigma nrQ_{0}^{n-1}}}}$

Изменение потока, которое уравновесит напор над петлей, приблизительно равно . Однако это только приближение из-за игнорирования членов разложения Тейлора . Изменение напора по циклу может не быть нулевым, но оно будет меньше первоначального предположения. Несколько итераций поиска нового приблизят к правильному решению. ^[1]${\displaystyle \Delta Q=-{\frac {\Sigma rQ_{0}^{n}}{\Sigma nrQ_{0}^{n-1}}}}$${\displaystyle \Delta Q}$

Процесс [ править ]

Метод выглядит следующим образом:

1. Угадайте потоки в каждой трубе, убедившись, что общий расход равен общему расходу на каждом стыке. (Предположение не обязательно должно быть правильным, но хорошее предположение сократит время, необходимое для поиска решения.)
2. Определите каждый замкнутый контур в системе.
3. Для каждого контура определите потери напора по часовой стрелке и потери напора против часовой стрелки. Потери напора в каждой трубе рассчитываются с использованием . Потери напора по часовой стрелке возникают из-за потоков, движущихся по часовой стрелке, а также против часовой стрелки.${\displaystyle h_{f}=rQ^{n}}$
4. Определите общую потерю напора в контуре, вычтя потерю напора против часовой стрелки из потери напора по часовой стрелке.${\displaystyle \Sigma rQ^{n}}$
5. Для каждого цикла найдите без привязки к направлению (все значения должны быть положительными).${\displaystyle \Sigma nrQ^{n-1}}$
6. Изменение расхода равно .${\displaystyle {\frac {\Sigma rQ^{n}}{\Sigma nrQ^{n-1}}}}$
7. Если изменение расхода положительное, примените его ко всем трубам контура против часовой стрелки. Если изменение расхода отрицательное, примените его ко всем трубам контура по часовой стрелке.
8. Продолжайте с шага 3, пока изменение расхода не окажется в удовлетворительном диапазоне.

Метод уравновешивания потоков (раздел неполный) [ править ]

Метод уравновешивания потоков использует начальное предположение, которое удовлетворяет непрерывность потенциала по каждому контуру, а затем уравновешивает потоки до тех пор, пока непрерывность потока также не будет достигнута на каждом стыке.

Преимущества метода Харди Кросса [ править ]

Простая математика [ править ]

Метод Харди Кросса полезен, потому что он полагается только на простую математику, избавляя от необходимости решать систему уравнений. Без методов Харди Кросса инженерам пришлось бы решать сложные системы уравнений с переменными показателями, которые нельзя легко решить вручную.

Самокорректирующийся [ править ]

Метод Харди Кросса итеративно исправляет ошибки в первоначальном предположении, используемом для решения проблемы. ^[1] Последующие ошибки в расчетах также итеративно исправляются. Если метод соблюдается правильно, правильный поток в каждой трубе все же можно найти, если в процессе постоянно допускаются небольшие математические ошибки. Пока последние несколько итераций выполняются с вниманием к деталям, решение все равно будет правильным. Фактически, можно намеренно отказаться от десятичных дробей на ранних итерациях метода, чтобы ускорить вычисления.

Пример [ править ]

Метод Харди Кросса можно использовать для расчета распределения потока в трубопроводной сети. Рассмотрим пример простой трубопроводной сети, показанной справа. В этом примере входящие и исходящие потоки будут составлять 10 литров в секунду. Мы будем считать n равным 2, потерю напора на единицу расхода r и предположение начального расхода для каждой трубы следующим образом:

Мы решаем сеть методом балансировки головок, следуя шагам, описанным в методе выше.

1. Начальные предположения настраиваются таким образом, чтобы непрерывность потока поддерживалась на каждом узле сети.

2. Петли системы обозначены как цикл 1-2-3 и цикл 2-3-4.

3. Определены потери напора в каждой трубе.

Петля 1-2-3	Q12	Q13	Q23
Потеря напора = ${\displaystyle rQ^{2}}$	25	125	0
Направление	По часовой стрелке	Против часовой стрелки	По часовой стрелке

Для контура 1-2-3 сумма потерь напора по часовой стрелке составляет 25, а сумма потерь напора против часовой стрелки составляет 125.

Петля 2-3-4	Q23	Q24	Q34
Потеря напора = ${\displaystyle rQ^{2}}$	0	125	25
Направление	Против часовой стрелки	По часовой стрелке	Против часовой стрелки

Для контура 2-3-4 сумма потерь напора по часовой стрелке составляет 125, а сумма потерь напора против часовой стрелки составляет 25.

4. Общая потеря напора по часовой стрелке в контуре 1-2-3 составляет . Общая потеря напора по часовой стрелке в контуре 2-3-4 составляет .${\displaystyle 25-125=-100}$${\displaystyle 125-25=100}$

5. Значение определяется для каждого цикла. Как показано на рисунке, в обеих петлях оказалось 60 (из-за симметрии).${\displaystyle \Sigma nrQ^{n-1}}$

6. Изменение расхода определяется для каждого контура с помощью уравнения . Для цикла 1-2-3 изменение расхода равно, а для цикла 2-3-4 изменение расхода равно .${\displaystyle {\frac {\Sigma rQ^{n}}{\Sigma nrQ^{n-1}}}}$${\displaystyle -100/60=-1.66}$${\displaystyle 100/60=1.66}$

7. Изменение расхода применяется к петлям. Для контура 1-2-3 изменение расхода отрицательное, поэтому его абсолютное значение применяется по часовой стрелке. Для контура 2-3-4 изменение расхода положительное, поэтому его абсолютное значение применяется против часовой стрелки. Для трубы 2-3, которая находится в обоих контурах, изменения расхода являются кумулятивными.

Затем процесс повторяется с шага 3 до тех пор, пока изменение расхода не станет достаточно небольшим или не достигнет нуля.

3. Общая потеря напора в контуре 1-2-3 составляет

Петля 1-2-3	Q12	Q13	Q23
Потеря напора = ${\displaystyle rQ^{2}}$	44,4	55,5	11.1
Направление	По часовой стрелке	Против часовой стрелки	По часовой стрелке

Обратите внимание, что потеря напора по часовой стрелке равна потере напора против часовой стрелки. Это означает, что поток в этом контуре сбалансирован и скорости потока правильные. Полная потеря напора в контуре 2-3-4 также будет сбалансирована (опять же из-за симметрии).

Петля 2-3-4	Q23	Q24	Q34
Потеря напора = ${\displaystyle rQ^{2}}$	11.1	55,5	44,4
Направление	Против часовой стрелки	По часовой стрелке	Против часовой стрелки

В этом случае метод нашел правильное решение за одну итерацию. Для других сетей может потребоваться несколько итераций, пока потоки в трубах не станут правильными или приблизительно правильными.

См. Также [ править ]

• Анализ трубопроводной сети
• Метод распределения моментов

Ссылки [ править ]