Векторы Герца или векторные потенциалы Герца представляют собой альтернативную формулировку электромагнитных потенциалов. Чаще всего они вводятся в учебники по теории электромагнитного поля в качестве практических задач, которые предстоит решить студентам. [1] Есть несколько случаев, когда они имеют практическое применение, включая антенны [2] и волноводы. [3] Хотя они иногда используются в таких практических задачах, они все еще редко упоминаются в большинстве курсов теории электромагнитного поля, а когда они есть, они часто не практикуются таким образом, чтобы продемонстрировать, когда они могут быть полезны или предоставить более простой метод решения проблема, чем более распространенные методы. [ необходима цитата ]
Векторы Герца могут быть полезны при решении для электрических и магнитных полей в определенных сценариях, поскольку они обеспечивают альтернативный способ определения скалярного потенциала и векторный потенциал которые используются для поиска полей, как это обычно делается.
| | ( 1 ) |
| | ( 2 ) |
Рассматривая отдельно для простоты случаи электрической и магнитной поляризации, каждый может быть определен в терминах скалярного и векторного потенциалов, что затем позволяет найти электрическое и магнитное поля. Для случаев только электрической поляризации используются следующие соотношения.
| | ( 3 ) |
| | ( 4 ) |
А для случаев исключительно магнитной поляризации они определяются как:
| | ( 5 ) |
| | ( 6 ) |
Чтобы применить их, необходимо определить поляризации, чтобы можно было получить форму векторов Герца. Рассмотрение случая простой электрической поляризации дает возможность найти эту форму через волновое уравнение. Предполагая, что пространство однородное и непроводящее, а распределения заряда и тока задаются выражением, определим вектор такой, что а также . Используя их для решения векторов аналогично тому, как вспомогательные поля а также можно найти, однако здесь векторы Герца рассматривают электрическую и магнитную поляризации как источники. Векторные потенциалы Герца от этих источников, для электрического потенциала Герца, и для магнитного потенциала Герца можно получить, используя волновое уравнение для каждого.
| | ( 7 ) |
| | ( 8 ) |
Это просто делается с помощью оператора Даламбера. к обоим векторам, имея в виду, что , и результат не равен нулю из-за присутствующей поляризации. Это обеспечивает прямой путь между легко определяемыми свойствами, такими как плотность тока.к полям через векторы Герца и их отношения к скалярным и векторным потенциалам. Эти волновые уравнения дают следующие решения для векторов Герца:
| | ( 9 ) |
| | ( 10 ) |
Где а также следует оценивать в запаздывающее время . [1] Электрическое и магнитное поля затем можно найти с помощью векторов Герца. Для простоты наблюдения взаимосвязи между поляризацией, векторами Герца и полями одновременно будет рассматриваться только один источник поляризации (электрический или магнитный). В отсутствие какой-либо магнитной поляризации вектор используется для поиска полей следующим образом:
| | ( 11 ) |
| | ( 12 ) |
Точно так же, в случае наличия только магнитной поляризации, поля определяются с помощью ранее установленных соотношений со скалярным и векторным потенциалами.
| | ( 13 ) |
| | ( 14 ) |
В случае наличия как электрической, так и магнитной поляризации поля становятся равными
| | ( 15 ) |
| | ( 16 ) |
Осциллирующий диполь
Рассмотрим одномерный равномерно колеблющийся ток. Ток направлен вдоль оси z на некоторой длине проводящего материала l с частотой колебаний. Определим вектор поляризации
| | ( 17 ) |
Где t оценивается в запаздывающее время. Вставив это в электрическое векторное уравнение Герца, зная, что длина l мала и поляризация имеет одномерное измерение, его можно аппроксимировать в сферических координатах следующим образом:
| | ( 18 ) |
Непосредственное продолжение расхождения быстро становится беспорядочным из-за знаменатель. Эту проблему легко решить, используя полиномы Лежандра для разложения потенциал:
| | ( 19 ) |
Важно отметить, что в приведенном выше уравнении а также являются векторами, а а также - длины этих векторов. угол между векторами а также . Теперь вектор Герца записывается следующим образом.
| | ( 20 ) |
Принимая дивергенцию
| | ( 21 ) |
Тогда градиент результата
| | ( 22 ) |
Наконец, нахождение второй части по времени
| | ( 23 ) |
Позволяет найти электрическое поле
| | ( 24 ) |
Моделирование
Используя соответствующие преобразования в декартовы координаты, это поле можно моделировать в трехмерной сетке. Просмотр плоскости XY в начале координат показывает двухлепестковое поле в одной плоскости, которое мы ожидаем от диполя, и оно колеблется во времени. На изображении ниже показана форма этого поля и то, как полярность меняется во времени из-за косинусного члена, однако в настоящее время оно не показывает изменение амплитуды из-за изменяющейся во времени силы тока. Тем не менее, сама его форма показывает эффективность использования электрического вектора Герца в этом сценарии. Этот подход значительно проще, чем определение электрического поля в терминах зарядов внутри бесконечно тонкой проволоки, особенно если они меняются со временем. Это лишь один из нескольких примеров того, когда использование векторов Герца выгодно по сравнению с более распространенными методами.
Электрическое поле из-за диполя, индуцированного колеблющимся током вдоль
ось (неправильно обозначена y). Поле изменяется во времени, поскольку полярность переключается из-за косинуса, вызывая переключение темного цвета на половине периода колебаний.
Текущая петля
Рассмотрим небольшую петлю по площади проводящий переменный во времени ток . При протекании тока будет присутствовать магнитное поле, перпендикулярное направлению потока в результате правила правой руки. Из-за того, что это поле создается в петле, ожидается, что поле будет похоже на поле электрического диполя. Это можно быстро доказать с помощью векторов Герца. Во-первых, магнитная поляризация определяется ее отношением к магнитному моменту.. Магнитный момент токовой петли определяется как, поэтому, если петля лежит в плоскости xy и имеет ранее определенный изменяющийся во времени ток, магнитный момент равен . Вставляя это в, а затем в уравнении ( 10 ) магнитный вектор Герца находится в простой форме.
| | ( 25 ) |
Как и в примере с электрическим диполем, полиномы Лежандра можно использовать для упрощения производных, необходимых для получения а также . Тогда электрическое поле находится через
| | ( 26 ) |
Из-за зависимости от , значительно проще выразить вектор Герца в сферических координатах, преобразовав из единственной вектор компонента к а также составные части.
| | ( 27 ) |
| | ( 28 ) |
Моделирование
Это поле было смоделировано с помощью Python путем преобразования сферического компонента в компоненты x и y. Результат ожидаемый. Из-за изменения тока возникает зависящее от времени магнитное поле, которое индуцирует электрическое поле. Из-за формы поле выглядит как диполь.
Электрическое поле вокруг токовой петли. Он показывает форму диполя, и разницу полярностей можно увидеть над и под петлей, поскольку направление тока изменяется со временем.