Полиномы Лежандра

В физике и математике полиномы Лежандра (названные в честь Адриана-Мари Лежандра , открывшего их в 1782 году) представляют собой систему полных и ортогональных полиномов с огромным количеством математических свойств и многочисленными приложениями. Их можно определить по-разному, и различные определения подчеркивают различные аспекты, а также предлагают обобщения и связи с различными математическими структурами и физическими и числовыми приложениями.

С полиномами Лежандра тесно связаны ассоциированные полиномы Лежандра , функции Лежандра, функции Лежандра второго рода и ассоциированные функции Лежандра .

В этом подходе многочлены определяются как ортогональная система относительно весовой функции на интервале . То есть полином степени , такой, что${\ Displaystyle ш (х) = 1}$${\ Displaystyle [-1,1]}$${\ Displaystyle P_ {п} (х)}$${\ Displaystyle п}$

Это определяет полиномы полностью с точностью до общего коэффициента масштабирования, который фиксируется стандартизацией . То, что это конструктивное определение, видно так: единственный правильно стандартизированный многочлен степени 0 должен быть ортогонален к , приводя к , и определяется требованием ортогональности к и и т.д. фиксируется требованием ортогональности ко всем с . Это дает условия, которые наряду со стандартизацией фиксируют все коэффициенты в . При работе все коэффициенты каждого многочлена могут быть систематически определены, что приводит к явному представлению в степенях, приведенных ниже.${\ Displaystyle P_ {п} (1) = 1}$${\ Displaystyle P_ {0} (х) = 1}$${\ Displaystyle P_ {1} (х)}$${\ Displaystyle P_ {0}}$${\ Displaystyle P_ {1} (х) = х}$${\ Displaystyle P_ {2} (х)}$${\ Displaystyle P_ {0}}$${\ Displaystyle Р_ {1}}$${\ Displaystyle Р_ {п}}$${\ Displaystyle Р_ {м}}$${\ Displaystyle м <п}$${\ Displaystyle п}$${\ Displaystyle P_ {п} (1) = 1}$${\ Displaystyle п + 1}$${\ Displaystyle P_ {п} (х)}$${\ Displaystyle х}$

Шесть первых многочленов Лежандра