Антимагическое квадрат порядка п является расположение чисел от 1 до п 2 в квадрате, например , что суммы на п строк, то п столбцов и двух диагоналей образуют последовательность 2 п + 2 последовательными целыми числами. Самые маленькие антимагические квадраты имеют порядок 4. [1] Антимагические квадраты контрастируют с магическими квадратами , где каждая строка, столбец и диагональная сумма должны иметь одинаковое значение. [2]
Примеры
Закажите 4 антимагических квадрата
|
|
В обоих этих антимагических квадратах четвертого порядка суммы строк, столбцов и диагоналей составляют десять различных чисел в диапазоне 29–38. [2]
Закажите 5 антимагических квадратов
|
|
В квадрате антимагии 5-го порядка слева сумма строк, столбцов и диагоналей составляет числа от 60 до 71. [2] В квадрате антимагии справа суммы строк, столбцов и диагоналей составляют числа от 59 до 70. [1]
Открытые проблемы
Следующие вопросы об антимагических квадратах не решены. [ необходима цитата ]
- Сколько существует антимагических квадратов определенного порядка?
- Существуют ли антимагические квадраты для всех порядков больше 3?
- Есть ли простое доказательство того, что не существует антимагического квадрата третьего порядка?
Обобщения
Разреженный антимагический квадрат (SAM) представляет собой квадратная матрицу размера п по п неотрицательных целых чисел , чьи ненулевых элементы являются последовательным целыми для некоторых , и суммы строк и столбцов которого составляют набор последовательных целых чисел. [3] Если диагонали включены в набор последовательных целых чисел, массив называется разреженным полностью антимагическим квадратом (STAM). Обратите внимание, что STAM не обязательно является SAM, и наоборот.
Заполнение квадрата размера n × n числами от 1 до n 2 таким образом, чтобы сумма строк, столбцов и диагоналей составляла разные значения, называется гетероквадратом . [4] (Таким образом, они представляют собой релаксацию, при которой не требуется никаких конкретных значений для суммы строки, столбца и диагонали.) Нет гетероквадратов порядка 2, но гетероквадраты существуют для любого порядка n ≥ 3: если n нечетное , заполнение квадрата по спирали даст гетероквадрат. [4] А если n четно, гетероквадрат получается в результате записи чисел от 1 до n 2 по порядку, а затем замены 1 и 2. Предполагается, что существует ровно 3120 существенно различных гетероквадратов порядка 3. [5]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ a b W., Weisstein, Eric. «Антимагический квадрат» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2016 .
- ^ а б в «Антимагические квадраты» . www.magic-squares.net . Проверено 3 декабря 2016 .
- ^ Серый, ID; Макдугалл, Дж. А. (2006). «Редкие антимагические квадраты и вершинно-магические разметки двудольных графов» . Дискретная математика . 306 (22): 2878–2892. DOI : 10.1016 / j.disc.2006.04.032 .
- ^ а б Вайсштейн, Эрик В. «Гетеросквер» . MathWorld .
- ^ Heterosquares Питера Барч в в magic-squares.net