В статистике , то метод Холм-Бонферрони , [1] также называемый Холм метод или Бонферрони-Хольм метод , используется для борьбы с проблемой множественных сравнений . Он предназначен для управления частотой ошибок в семье и предлагает простой тест, который намного мощнее, чем поправка Бонферрони . Он назван в честь Стуре Хольма , систематизировавшего метод, и Карло Эмилио Бонферрони .
Мотивация
При рассмотрении нескольких гипотез возникает проблема множественности : чем больше гипотез проверяется, тем выше вероятность получения ошибок I типа ( ложных срабатываний ). Метод Холма – Бонферрони - один из многих подходов к управлению частотой ошибок в семье (вероятность возникновения одной или нескольких ошибок типа I) путем корректировки критериев отклонения для каждой отдельной гипотезы. [ необходима цитата ]
Формулировка
Метод выглядит следующим образом:
- Предположим, у вас есть p-значения, отсортированные от наименьшего к наибольшему , и соответствующие им гипотезы . Вы хотите, чтобы уровень семейных ошибок был не выше определенного заранее заданного уровня значимости. .
- Является ? Если да, отклоните и переходите к следующему шагу, иначе ВЫЙТИ.
- Является ? Если да, отклоните также и переходите к следующему шагу, иначе ВЫЙТИ.
- И так далее: для каждого значения P проверьте, . Если да, отклоните и продолжайте исследовать большие значения P, в противном случае ВЫЙТИ.
Этот метод гарантирует, что коэффициент ошибок в семействе.
Обоснование
Простая поправка Бонферрони отвергает только нулевые гипотезы с p- значением меньше, чем, чтобы гарантировать, что риск отклонения одной или нескольких истинных нулевых гипотез (т. е. совершения одной или нескольких ошибок типа I) не превышает . Стоимость этой защиты от ошибок типа I заключается в повышенном риске отказа от отклонения одной или нескольких ложных нулевых гипотез (т. Е. Совершения одной или нескольких ошибок типа II).
Метод Холма – Бонферрони также контролирует максимальную частоту ошибок в семье при , но с меньшим увеличением риска ошибки типа II, чем классический метод Бонферрони. Метод Холма – Бонферрони сортирует p-значения от наименьшего к наибольшему и сравнивает их с номинальными альфа-уровнями к (соответственно), а именно значения .
- Индекс определяет первое значение p , которое недостаточно низкое для подтверждения отклонения. Следовательно, нулевые гипотезы отклоняются, а нулевые гипотезы принимаются (не отклоняются).
- Если тогда никакие p-значения не были достаточно низкими для отклонения, поэтому никакие нулевые гипотезы не отклоняются (т. е. принимаются все нулевые гипотезы).
- Если такого индекса нет можно было найти, тогда все p-значения были достаточно низкими для отклонения, поэтому все нулевые гипотезы отклоняются (ни одна не принимается).
Доказательство
Холм – Бонферрони управляет FWER следующим образом. Позволять быть семьей гипотез, и быть отсортированными p-значениями. Позволять - набор индексов, соответствующих (неизвестным) истинным нулевым гипотезам, имеющим члены.
Допустим, мы ошибочно отвергаем истинную гипотезу. Мы должны доказать, что вероятность этого события не более. Позволятьбыть первой отвергнутой истинной гипотезой (первой в порядке, заданном тестом Бонферрони – Холма). потомвсе отвергают ложные гипотезы и . Оттуда мы получаем(1). С отклонено у нас есть по определению теста. Используя (1), правая часть не превосходит. Таким образом, если мы ошибочно отвергаем истинную гипотезу, должна существовать истинная гипотеза с P-значением не более.
Итак, давайте определим случайную величину . Каким бы ни был (неизвестный) набор истинных гипотез есть, у нас есть (по неравенствам Бонферрони ). Следовательно, вероятность отклонить истинную гипотезу не более.
Альтернативное доказательство
Метод Холм-Бонферрони можно рассматривать как процедуры закрытого тестирования , [2] с Бонферрони метода применяется локально на каждом из пересечений гипотез нуля. Таким образом, он контролирует частоту ошибок в семье для всех k гипотез на уровне α в строгом смысле. Каждое пересечение проверяется с помощью простого теста Бонферрони.
Это упрощенная процедура, поскольку практически количество сравнений, которые необходимо выполнить, равно или меньше, в то время как количество всех пересечений нулевых гипотез, подлежащих проверке, порядка .
Принцип замыкания гласит, что гипотеза в семье гипотез отклоняется - при одновременном контроле уровня ошибок в семье - тогда и только тогда, когда все подсемейства пересечений с контролируются на уровне семейных ошибок .
В процедуре Холма – Бонферрони мы сначала проверяем . Если он не отклонен, то пересечение всех нулевых гипотез также не отклоняется, так что существует хотя бы одна гипотеза пересечения для каждой из элементарных гипотез это не отвергается, поэтому мы не отвергаем ни одну из элементарных гипотез.
Если отклоняется на уровне тогда все подсемейства пересечений, которые его содержат, также отклоняются, таким образом отклонено. Это потому что является наименьшим в каждом из подсемейств пересечений, а размер подсемейств самый , такой, что порог Бонферрони больше, чем .
То же самое обоснование применяется для . Однако, поскольку уже отклонены, достаточно отклонить все подсемейства пересечений без . Один раз содержит все пересечения, содержащие отклоняются.
То же самое относится к каждому .
Пример
Рассмотрим четыре нулевые гипотезы с нескорректированными p-значениями , , а также , для проверки на уровне значимости . Поскольку процедура пошаговая, сначала проверяем, имеющая наименьшее p-значение . Значение p сравнивается с, нулевая гипотеза отклоняется, и мы переходим к следующей. С мы отвергаем а так и продолжаем. Следующая гипотеза не отклоняется, так как . Прекращаем тестирование и делаем вывод, что а также отклонены и а также не отклоняются при контроле уровня семейных ошибок на уровне . Обратите внимание, что хотя применяется, это не отвергается. Это связано с тем, что процедура тестирования останавливается, как только происходит отказ от отклонения.
Расширения
Метод Хольма – Шидака
Когда проверки гипотез не имеют отрицательной зависимости, можно заменить с участием:
в результате получился немного более мощный тест.
Взвешенная версия
Позволять быть упорядоченными нескорректированными p-значениями. Позволять, соответствуют . Отклонять так долго как
Скорректированная р -значение
Скорректированные р -значения для метода Холм-Бонферрони являются:
В предыдущем примере скорректированные значения p равны, , а также . Только гипотезы а также отклоняются на уровне .
Взвешенные скорректированные значения p : [ необходима цитата ]
Гипотеза отклоняется на уровне α тогда и только тогда, когда ее скорректированное значение p меньше α. В предыдущем примере с использованием равных весов скорректированные значения p равны 0,03, 0,06, 0,06 и 0,02. Это еще один способ увидеть, что при α = 0,05 только первая и четвертая гипотезы отклоняются этой процедурой.
Альтернативы и использование
Метод Холма – Бонферрони «равномерно» более эффективен, чем классическая поправка Бонферрони , а это означает, что он всегда по крайней мере столь же эффективен.
Существуют и другие методы управления частотой ошибок в семье, более мощные, чем методы Холма – Бонферрони. Например, в процедуре Хохберга отказ отпроизводится после нахождения максимального индекса такой, что . Таким образом, процедура Хохберга более мощная, чем процедура Холма. Однако процедура Хохберга требует, чтобы гипотезы были независимыми или имели определенные формы положительной зависимости, в то время как процедура Холма – Бонферрони может применяться без таких предположений. Похожая пошаговая процедура - это процедура Хоммеля, которая неизменно более мощная, чем процедура Хохберга. [3]
Именование
Карло Эмилио Бонферрони не участвовал в изобретении описанного здесь метода. Изначально Хольм называл этот метод «последовательно отклоняющимся тестом Бонферрони», и только через некоторое время он стал известен как Хольм – Бонферрони. Мотивы, по которым Холм назвал свой метод в честь Бонферрони, объясняются в оригинальной статье: «Использование неравенства Буля в теории множественного вывода обычно называется техникой Бонферрони, и по этой причине мы будем называть наш тест последовательно отклоняемым тестом Бонферрони».
Рекомендации
- Перейти ↑ Holm, S. (1979). «Простая процедура многократного последовательного отбраковки». Скандинавский статистический журнал . 6 (2): 65–70. JSTOR 4615733 . Руководство по ремонту 0538597 .
- ^ Marcus, R .; Peritz, E .; Габриэль, KR (1976). «О процедурах закрытого тестирования с особым упором на заказной дисперсионный анализ». Биометрика . 63 (3): 655–660. DOI : 10.1093 / Biomet / 63.3.655 .
- ^ Хоммель, Г. (1988). «Поэтапная процедура многократного отклонения на основе модифицированного теста Бонферрони». Биометрика . 75 (2): 383–386. DOI : 10.1093 / Biomet / 75.2.383 . ЛВП : 2027,42 / 149272 . ISSN 0006-3444 .