Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве

В математике , то группа из вращений вокруг неподвижной точки в четырехмерном евклидовом пространстве обозначается SO (4) . Название происходит от того факта, что это особая ортогональная группа порядка 4.

В этой статье под вращением понимается вращательное смещение . Для уникальности предполагается, что углы поворота находятся в сегменте $[0, π],$ за исключением случаев, когда это указано или явно подразумевается контекстом иначе.

«Фиксированная плоскость» - это плоскость, для которой каждый вектор в плоскости не изменяется после поворота. «Инвариантная плоскость» - это плоскость, для которой каждый вектор в плоскости, хотя на него может повлиять вращение, остается в плоскости после вращения.

Геометрия 4D вращений [ править ]

Четырехмерные вращения бывают двух типов: простые вращения и двойные вращения.

Простые вращения [ править ]

Простое вращение $R$ вокруг центра вращения $O$ оставляет неподвижной всю плоскость от $A$ до $O$ (ось-плоскость). Каждая плоскость $B$ , который полностью ортогональны ^[а] к $А$ пересекает $А$ в некоторой точке $P$ . Каждая такая точка $Р$ является центром вращения 2D , индуцированного $R$ в $B$ . Все эти двумерные повороты имеют одинаковый угол поворота $α$ .

Половинки от точки $O$ в плоскости оси $A$ не смещены; полуоси от $O,$ ортогональные к $A$ , смещены на угол $α$ ; все остальные полуоси смещены на угол меньше $α$ .

Двойное вращение [ править ]

Тессеракт , в стереографической проекции , в двойном вращении

Четырехмерный тор Клиффорда, стереографически спроецированный в трехмерное изображение, выглядит как тор , а двойное вращение можно рассматривать как спиральную траекторию на этом торе. Для вращения, у которого два угла поворота имеют рациональное соотношение, пути в конечном итоге снова соединятся; а при иррациональном соотношении их не будет. Изоклиническое вращение образует круг Вилларсо на торе, в то время как простое вращение образует круг, параллельный или перпендикулярный центральной оси.

Для каждого вращения $R$ 4-мерного пространства (фиксирующего начало координат) существует по крайней мере одна пара ортогональных 2-плоскостей $A$ и $B,$ каждая из которых инвариантна и прямая сумма которых $A \oplus B$ является всей 4-пространственной. Следовательно, $R,$ действующий в любой из этих плоскостей, производит обычное вращение этой плоскости. Почти для всех $R$ (всего 6-мерного набора поворотов, кроме 3-мерного подмножества) углы поворота $α$ в плоскости $A$ и $β$ в плоскости $B$ - оба предполагаются ненулевыми - различны. Неравные углы поворота $α$ и $β$ , удовлетворяющих $-π < α$ , $β <π$ почти ^[Ь] однозначно определяется $R$ . Предполагая, что 4-пространство ориентировано, тогда ориентации 2-плоскостей $A$ и $B$ можно выбрать в соответствии с этой ориентацией двумя способами. Если углы поворота не равны ( $α \neq β$ ), $R$ иногда называют «двойным поворотом».

В этом случае двойного вращения, $A$ и $B$ являются единственной парой инвариантных плоскостей, а полупрямы от начала координат в $A$ , $B$ смещены на $α$ и $β$ соответственно, а полуоси от начала координат не в $A$ или $B.$ смещены на углы строго между $α$ и $β$ .

Изоклинические вращения [ править ]

Если углы поворота при двойном повороте равны, то существует бесконечно много инвариантных плоскостей вместо двух, и все полуоси из $O$ смещены на один и тот же угол. Такие повороты называются изоклиническими или равносторонними вращениями или смещениями Клиффорда . Остерегайтесь: не все плоскости, проходящие через точку $O$ , инвариантны относительно изоклинических вращений; инвариантны только плоскости, которые натянуты на полупрямую и соответствующую смещенную полупрямую.

Предполагая, что для 4-мерного пространства выбрана фиксированная ориентация, изоклинические 4-мерные вращения можно разделить на две категории. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим изоклиническое вращение $R$ и возьмем согласованный по ориентации упорядоченный набор $OU, OX, OY, OZ$ взаимно перпендикулярных полупрямых в точке $O$ (обозначенных как $OUXYZ$ ), так что $OU$ и $OX$ $перекрывают$ инвариантную плоскость и, следовательно, $OY$ и $OZ$ также покрывают инвариантную плоскость. Теперь предположим, что указан только угол поворота $α$ . Тогда имеется всего четыре изоклинических вращения в плоскостях $OUX$ и $OYZ$ с углом поворота $α$ , в зависимости от значений поворота в $OUX$ и $OYZ$ .

Мы приняли соглашение, что значения вращения от $OU$ к $OX$ и от $OY$ к $OZ$ считаются положительными. Тогда у нас есть четыре поворота $R 1 = (+ α, + α)$ , $R 2 = (- α, - α)$ , $R 3 = (+ α, - α)$ и $R 4 = (- α, + α)$ . $R 1$ и $R 2$ - противоположные друг другу; так же $R 3$ и $R 4$ . Пока $α$ находится между 0 и $π$ , эти четыре поворота будут разными.

Изоклинические вращения с одинаковыми знаками обозначены как левоизоклинические ; с противоположными знаками как правоизоклинические . Левое и правое изоклинические вращения представлены соответственно левым и правым умножением на единичные кватернионы; см. параграф «Отношение к кватернионам» ниже.

Четыре поворота попарно различны, за исключением случаев, когда $α = 0$ или $α = π$ . Угол $α = 0$ соответствует повороту единицы; $α = π$ соответствует центральной инверсии , заданной отрицанием единичной матрицы. Эти два элемента SO (4) - единственные, которые одновременно являются лево и право изоклиническими.

Левая и правая изоклиния, определенные как указано выше, по-видимому, зависят от того, какое конкретное изоклиническое вращение было выбрано. Однако, когда другая изоклинична вращение $R '$ с его собственными осями $OU'$ , $OX '$ , $OY'$ , $OZ '$ выбрано, то можно всегда выбирать порядок из $U'$ , $X '$ , $Y'$ , $Z '$ таким образом, что $OUXYZ$ может быть преобразованный в $OU'X'Y'Z '$ поворотом, а не поворотом-отражением (то есть так, чтобы упорядоченный базис $OU '$ , $OX '$ , $OY '$ , $OZ '$ также согласуется с тем же фиксированным выбором ориентации, что и $OU$ , $OX$ , $OY$ , $OZ$ ). Следовательно, как только кто-то выбрал ориентацию (то есть систему осей $OUXYZ,$ которая повсеместно обозначается как правосторонняя), можно определить левый или правый характер конкретного изоклинического вращения.

Групповая структура SO (4) [ править ]

SO (4) - некоммутативная компактная 6- мерная группа Ли .

Каждая плоскость, проходящая через центр вращения $O,$ является осевой плоскостью коммутативной подгруппы, изоморфной SO (2). Все эти подгруппы сопряжены между собой в SO (4).

Каждая пара полностью ортогональных плоскостей, проходящих через $O,$ является парой инвариантных плоскостей коммутативной подгруппы SO (4), изоморфной SO (2) × SO (2) .

Эти группы являются максимальными торами SO (4), которые все взаимно сопряжены в SO (4). См. Также тор Клиффорда .

Все левоизоклинические вращения образуют некоммутативную подгруппу $S 3 L$ в SO (4), которая изоморфна мультипликативной группе $S 3$ единичных кватернионов . Все правые изоклинические вращения также образуют подгруппу $S 3 R$ в SO (4), изоморфную $S 3$ . И $S 3 L,$ и $S 3 R$ являются максимальными подгруппами в SO (4).

Каждое левоизоклиническое вращение коммутирует с каждым правоизоклиническим вращением. Отсюда следует, что существует прямое произведение $S 3 L \times S 3 R$ с нормальными подгруппами $S 3 L$ и $S 3 R$ ; обе соответствующие фактор-группы изоморфны другому фактору прямого произведения, т. е. изоморфны $S 3$ . (Это не SO (4) или его подгруппа, потому что $S 3 L$ и $S 3 R$ не пересекаются: тождество $I$ и центральная инверсия $- I$ принадлежат как $S 3 L, так$ и $S 3 R.$ )

Каждая 4D вращения в двух направлениях произведению левой и правой изоклиничных вращений $L$ и $R$ . $A$ $L$ и $A$ $R$ вместе определяются с точностью до центральной инверсии, т.е. когда и $A$ $L,$ и $A$ $R$ умножаются на центральную инверсию, их произведение снова равно $A.$

Отсюда следует, что $S 3 L \times S 3 R$ - универсальная накрывающая группа SO (4) - ее единственное двойное покрытие - и что $S 3 L$ и $S 3 R$ - нормальные подгруппы SO (4). Тождественное вращение $I$ и центральная инверсия $- I$ образуют группу $C 2$ порядка 2, которая является центром SO (4) и $S 3 L$ и $S 3 R.$ . Центр группы - нормальная подгруппа этой группы. Фактор-группа C ₂ в SO (4) изоморфна SO (3) × SO (3). Фактор-группы $S$ ³_L по C ₂ и $S$ ³_R по C ₂ каждая изоморфна SO (3). Точно так же фактор-группы SO (4) по $S$ ³_L и SO (4) по $S$ ³_R каждая изоморфна SO (3).

Топология SO (4) является такой же , как в группе Ли SO (3) × Спин (3) = SO (3) × SU (2) , а именно пространство , где это вещественное проективное пространство размерности 3 и является 3-сфера . Однако следует отметить, что как группа Ли SO (4) не является прямым произведением групп Ли, и поэтому она не изоморфна SO (3) × Spin (3) = SO (3) × SU (2 ) . ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {3} \ times \ mathbb {S} ^ {3}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}$ $\mathbb {S} ^{3}$

Особое свойство SO (4) среди групп вращения в целом [ править ]

Группы нечетномерных вращений не содержат центральной инверсии и являются простыми группами .

Группы четномерных вращений содержат центральную инверсию $- I$ и группу C ₂ = { $I$ , $- I$ } в качестве своего центра . Для четного n ≥ 6 SO (n) почти проста в том смысле, что фактор-группа SO (n) / C ₂ группы SO (n) по ее центру является простой группой.

SO (4) отличается: здесь нет сопряжения любым элементом SO (4), который преобразует лево-правые изоклинические вращения друг в друга. Отражения превращают левоизоклиническое вращение в правоизоклиническое путем сопряжения, и наоборот. Отсюда следует, что под группой O (4) всех изометрий с неподвижной точкой $O$ различные подгруппы $S 3 L$ и $S 3 R$ сопряжены друг с другом и поэтому не могут быть нормальными подгруппами в O (4). Группа 5D вращений SO (5) и все более высокие группы вращений содержат подгруппы, изоморфные O (4). Как и SO (4), все четномерные группы вращений содержат изоклинические вращения. Но в отличие от SO (4), в SO (6) и всех более высоких четномерных группах вращений любые два изоклинических вращения на один и тот же угол сопряжены. Множество всех изоклинических вращений даже не является подгруппой SO (2 $N$ ), не говоря уже о нормальной подгруппе.

Алгебра 4D вращений [ править ]

SO (4) обычно идентифицируется с группой ориентации -preserving изометрические линейных отображений 4D векторного пространства с внутренним произведением над действительными числами на себя.

Относительно ортонормированного базиса в таком пространстве SO (4) представляется как группа вещественных ортогональных матриц 4-го порядка с определителем +1.

Изоклиническое разложение [ править ]

Четырехмерное вращение, заданное его матрицей, разлагается на левоизоклиническое и правоизоклиническое вращение следующим образом:

Позволять

A={\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}

- его матрица относительно произвольного ортонормированного базиса.

Рассчитайте из этого так называемую ассоциативную матрицу ^{[ необходима ссылка ]}

M={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}a_{00}+a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{10}-a_{01}-a_{32}+a_{23}&+a_{20}+a_{31}-a_{02}-a_{13}&+a_{30}-a_{21}+a_{12}-a_{03}\\a_{10}-a_{01}+a_{32}-a_{23}&-a_{00}-a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{30}-a_{21}-a_{12}+a_{03}&-a_{20}-a_{31}-a_{02}-a_{13}\\a_{20}-a_{31}-a_{02}+a_{13}&-a_{30}-a_{21}-a_{12}-a_{03}&-a_{00}+a_{11}-a_{22}+a_{33}&+a_{10}+a_{01}-a_{32}-a_{23}\\a_{30}+a_{21}-a_{12}-a_{03}&+a_{20}-a_{31}+a_{02}-a_{13}&-a_{10}-a_{01}-a_{32}-a_{23}&-a_{00}+a_{11}+a_{22}-a_{33}\end{pmatrix}}

$M$ имеет ранг один и имеет единичную евклидову норму как 16-мерный вектор тогда и только тогда, когда $A$ действительно является 4-мерной матрицей вращения ^{[ необходима ссылка ]} . В этом случае существуют действительные числа $a, b, c, d$ и $p, q, r, s$ такие, что

M={\begin{pmatrix}ap&aq&ar&as\\bp&bq&br&bs\\cp&cq&cr&cs\\dp&dq&dr&ds\end{pmatrix}}

и

(ap)^{2}+\cdots +(ds)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}\right)=1.

^{[ необходима цитата ]}

Есть ровно два набора $a, b, c, d$ и $p, q, r, s,$ такие что $a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1$ и $p 2 + q 2 + r 2 + s 2 = 1.$ . Они противоположны друг другу.

Тогда матрица вращения равна

{\begin{aligned}A&={\begin{pmatrix}ap-bq-cr-ds&-aq-bp+cs-dr&-ar-bs-cp+dq&-as+br-cq-dp\\bp+aq-dr+cs&-bq+ap+ds+cr&-br+as-dp-cq&-bs-ar-dq+cp\\cp+dq+ar-bs&-cq+dp-as-br&-cr+ds+ap+bq&-cs-dr+aq-bp\\dp-cq+br+as&-dq-cp-bs+ar&-dr-cs+bp-aq&-ds+cr+bq+ap\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Эта формула принадлежит Ван Эльфринкхофу (1897).

Первый фактор в этом разложении представляет собой левоизоклиническое вращение, второй фактор - правоизоклиническое вращение. Коэффициенты определяются с точностью до отрицательной единичной матрицы 4-го порядка , то есть центральной инверсии.

Отношение к кватернионам [ править ]

Точка в 4-мерном пространстве с декартовыми координатами $(u, x, y, z)$ может быть представлена кватернионом $P = u + xi + yj + zk$ .

Левоизоклиническое вращение представлено левым умножением на единичный кватернион $Q L = a + bi + cj + dk$ . На матрично-векторном языке это

{\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}

Аналогично, правое изоклиническое вращение представлено правым умножением на единичный кватернион $Q R = p + qi + rj + sk$ , который находится в матрично-векторной форме

{\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.

В предыдущем разделе (# Изоклиническая декомпозиция ) показано, как общее четырехмерное вращение разбивается на лево- и право-изоклинические факторы.

На языке кватернионов формула Ван Эльфринкхофа гласит:

u'+x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(u+xi+yj+zk)(p+qi+rj+sk),

или, в символической форме,

P'=Q_{\mathrm {L} }PQ_{\mathrm {R} }.\,

По словам немецкого математика Феликса Клейна эта формула была уже известной Кейли в 1854 году ^{[ править ]} .

Умножение кватернионов ассоциативно . Следовательно,

P'=\left(Q_{\mathrm {L} }P\right)Q_{\mathrm {R} }=Q_{\mathrm {L} }\left(PQ_{\mathrm {R} }\right),\,

что показывает, что левоизоклиническое и правоизоклиническое вращения коммутируют.

Собственные значения четырехмерных матриц вращения [ править ]

Четыре собственных значения четырехмерной матрицы вращения обычно встречаются как две сопряженные пары комплексных чисел единичной величины. Если собственное значение является действительным, оно должно быть ± 1, поскольку при повороте величина вектора остается неизменной. Сопряжение этого собственного значения также равно единице, что дает пару собственных векторов, которые определяют фиксированную плоскость, поэтому вращение выполняется просто. В кватернионной нотации собственное (т. Е. Не инвертирующее) вращение в SO (4) является собственным простым вращением тогда и только тогда, когда действительные части единичных кватернионов $Q L$ и $Q R$ равны по величине и имеют одинаковый знак. ^[c]Если они оба равны нулю, все собственные значения вращения равны единице, и вращение является нулевым вращением. Если действительные части $Q L$ и $Q R$ не равны, тогда все собственные значения являются комплексными, и вращение является двойным вращением.

Формула Эйлера – Родригеса для трехмерных вращений [ править ]

Наше обычное трехмерное пространство удобно рассматривать как подпространство с системой координат 0XYZ четырехмерного пространства с системой координат UXYZ. Его группа вращений SO (3) отождествляется с подгруппой SO (4), состоящей из матриц

{\begin{pmatrix}1&\,\,0&\,\,0&\,\,0\\0&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}.

В формуле Ван Эльфринхофа из предыдущего пункта это ограничение до трех измерений приводит к $p = a$ , $q = - b$ , $r = - c$ , $s = - d$ , или в кватернионном представлении: $Q R = Q L' = Q L -1$ . Матрица вращения 3D становится

{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}},

которое является представлением трехмерного вращения с помощью его параметров Эйлера – Родригеса : $a, b, c, d$ .

Соответствующая кватернионная формула $P ' = QPQ -1$ , где $Q = Q L$ , или, в развернутом виде:

x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(xi+yj+zk)(a-bi-cj-dk)

известна как формула Гамильтона - Кэли .

Координаты Хопфа [ править ]

Вращения в трехмерном пространстве становятся математически более управляемыми за счет использования сферических координат . Любое вращение в 3D может быть охарактеризовано фиксированной осью вращения и неизменной плоскостью, перпендикулярной этой оси. Без ограничения общности мы можем принять плоскость $xy$ в качестве инвариантной плоскости, а ось $z -$ в качестве фиксированной оси. Поскольку вращение не влияет на радиальные расстояния, мы можем охарактеризовать вращение по его влиянию на единичную сферу (2-сферу) сферическими координатами относительно фиксированной оси и инвариантной плоскости:

{\begin{aligned}x&=\sin \theta \cos \phi \\y&=\sin \theta \sin \phi \\z&=\cos \theta \end{aligned}}

Поскольку $x 2 + y 2 + z 2 = 1$ , точки лежат на 2-сфере. Точка в ${θ 0, φ 0},$ повернутая на угол $φ$ вокруг оси $z,$ определяется просто как ${θ 0, φ 0 + φ}$ . Хотя гиперсферические координаты также полезны при работе с четырехмерными вращениями, еще более полезная система координат для четырехмерных координат обеспечивается координатами Хопфа ${ξ 1, η, ξ 2}$ , ^[2], которые представляют собой набор трех угловых координат, определяющих положение на 3-сфере. Например:

{\begin{aligned}u&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\z&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\y&=\sin \xi _{2}\cos \eta \end{aligned}}

Поскольку $u 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1$ , точки лежат на 3-сфере.

В четырехмерном пространстве каждый поворот вокруг начала координат имеет две инвариантные плоскости, которые полностью ортогональны друг другу, пересекаются в начале координат и повернуты на два независимых угла $ξ 1$ и $ξ 2$ . Без ограничения общности мы можем выбрать в качестве этих инвариантных плоскостей , соответственно, $uz-$ и $xy$ -плоскости. Поворот в 4D точки ${ξ 10, η 0, ξ 20}$ на углы $ξ 1$ и $ξ 2$ тогда просто выражается в координатах Хопфа как ${ξ 10 + ξ 1, η 0, ξ 20 + ξ 2}$ .

Визуализация 4D вращений [ править ]

Траектории точки на торе Клиффорда:
Рис.1: простые вращения (черный) и изоклинические вращения влево и вправо (красный и синий)
Рис.2: общее вращение с угловыми смещениями в соотношении 1: 5
Рис.3: общий поворот с угловыми смещениями в соотношении 5: 1.
Все изображения являются стереографическими проекциями .

Каждое вращение в трехмерном пространстве имеет неизменную осевую линию, которая не изменяется при вращении. Вращение полностью задается путем указания оси вращения и угла поворота вокруг этой оси. Без ограничения общности, эта ось может быть выбрана в качестве оси $z$ декартовой системы координат, что позволяет упростить визуализацию вращения.

В трехмерном пространстве сферические координаты ${θ, φ}$ можно рассматривать как параметрическое выражение 2-сферы. Для фиксированного $θ$ они описывают круги на 2-сфере, которые перпендикулярны оси $z,$ и эти круги можно рассматривать как траектории точки на сфере. Точка ${θ 0, φ 0}$ на сфере при вращении вокруг оси $z$ будет следовать по траектории ${θ 0, φ 0 + φ}$ как угол $φ$ меняется. Траекторию можно рассматривать как параметрическое во времени вращение, где угол вращения $линейен$ во времени: $φ = ωt$ , где $ω$ - «угловая скорость».

Аналогично случаю 3D, каждое вращение в пространстве 4D имеет по крайней мере две инвариантные оси-плоскости, которые остаются инвариантными при вращении и полностью ортогональны (т.е. они пересекаются в точке). Вращение полностью задается путем задания осевых плоскостей и углов поворота вокруг них. Без ограничения общности, эти плоскости осей могут быть выбраны в качестве $плоскостей$ $uz$ и $xy$ декартовой системы координат, что позволяет упростить визуализацию вращения.

В 4-мерном пространстве углы Хопфа ${ξ 1, η, ξ 2}$ параметризуют 3-сферу. При фиксированном $η$ они описывают тор, параметризованный $ξ 1$ и $ξ 2$ , причем $η = π / 4$ являясь частным случаем тора Клиффорда в $плоскостях xy$ и $uz$ . Эти торы не являются обычными торами в 3D-пространстве. Хотя они все еще являются 2D-поверхностями, они встроены в 3-сферу. Трехмерную сферу можно стереографически спроецировать на все евклидово трехмерное пространство, и тогда эти торы будут рассматриваться как обычные торы вращения. Видно, что точка, заданная посредством ${ξ 10, η 0, ξ 20},$ претерпевающая вращение с инвариантными $плоскостями$ $uz$ - и $xy$ , останется на торе, задаваемом $η 0$ .^[3] Траекторию точки как функцию времени можно записать как ${ξ 10 + ω 1 t, η 0, ξ 20 + ω 2 t}$ и стереографически спроецировать на связанный с ней тор, как на рисунках ниже. ^[4] На этих рисунках начальная точка принята равной ${0, π / 4, 0}$ , т.е. на торе Клиффорда. На рис. 1 две простые траектории вращения показаны черным цветом, а левая и правая изоклинические траектории показаны красным и синим соответственно. На рис. 2 показано общее вращение, при котором $ω 1 = 1$ и $ω 2 = 5$ , а на рис. 3 показано общее вращение, при котором $ω 1 = 5$ и $ω 2 = 1$ .

Создание 4-мерных матриц вращения [ править ]

Четырехмерные вращения могут быть получены из формулы вращения Родригеса и формулы Кэли. Пусть $A$ - кососимметричная матрица 4 × 4 . Кососимметричная матрица $A$ однозначно разлагается как

A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}

на две кососимметричные матрицы $A 1$ и $A 2,$ удовлетворяющие свойствам $A 1 A 2 = 0$ , $A 13 = - A 1$ и $A 23 = - A 2$ , где $\mp θ 1 i$ и $\mp θ 2 i$ - собственные значения из $A$ . Тогда матрицы 4D вращения могут быть получены из кососимметричных матриц $A 1$ и $A 2$ формулой вращения Родригеса и формулой Кэли. ^[5]

Пусть $A$ - ненулевая кососимметричная матрица 4 × 4 с множеством собственных значений

\left\{\theta _{1}i,-\theta _{1}i,\theta _{2}i,-\theta _{2}i:{\theta _{1}}^{2}+{\theta _{2}}^{2}>0\right\}.

Тогда $A$ можно разложить как

A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}

где $A 1$ и $A 2$ - кососимметричные матрицы, удовлетворяющие свойствам

A_{1}A_{2}=A_{2}A_{1}=0,\qquad {A_{1}}^{3}=-A_{1},\quad {\text{and}}\quad {A_{2}}^{3}=-A_{2}.

Более того, кососимметричные матрицы $A 1$ и $A 2$ однозначно получаются как

A_{1}={\frac {{\theta _{2}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{1}\left({\theta _{2}}^{2}-{\theta _{1}}^{2}\right)}}

и

A_{2}={\frac {{\theta _{1}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{2}\left({\theta _{1}}^{2}-{\theta _{2}}^{2}\right)}}.

Затем,

R=e^{A}=I+\sin \theta _{1}A_{1}+\left(1-\cos \theta _{1}\right){A_{1}}^{2}+\sin \theta _{2}A_{2}+\left(1-\cos \theta _{2}\right){A_{2}}^{2}

матрица вращения в $E 4$ , которая генерируется формулой вращения Родригеса, с набором собственных значений

\left\{e^{\theta _{1}i},e^{-\theta _{1}i},e^{\theta _{2}i},e^{-\theta _{2}i}\right\}.

Также,

R=(I+A)(I-A)^{-1}=I+{\frac {2\theta _{1}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}A_{1}+{\frac {2{\theta _{1}}^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}{A_{1}}^{2}+{\frac {2\theta _{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}A_{2}+{\frac {2{\theta _{2}}^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}{A_{2}}^{2}

представляет собой матрицу вращения в $E 4$ , которая генерируется формулой вращения Кэли, так что набор собственных значений $R$ равен,

\left\{{\frac {\left(1+\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1+\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}\right\}.

Образующую матрицу вращения можно классифицировать по значениям $θ 1$ и $θ 2$ следующим образом:

Если $θ 1 = 0$ и $θ 2 \neq 0$ или наоборот, то формулы генерируют простые повороты;
Если $θ 1$ и $θ 2$ отличны от нуля и $θ 1 \neq θ 2$ , то формулы генерируют двойные вращения;
Если $θ 1$ и $θ 2$ отличны от нуля и $θ 1 = θ 2$ , то формулы генерируют изоклинические вращения.

См. Также [ править ]

Вектор Лапласа – Рунге – Ленца.
Группа Лоренца
Ортогональная группа
Ортогональная матрица
Плоскость вращения
Группа Пуанкаре
Кватернионы и пространственное вращение

Заметки [ править ]

^ Две плоские подпространства $S 1$ и $S 2$ размерностей $М$ и $N$ евклидова пространства $S$ , по меньшей мере $М + N$ размеры называются полностью ортогональны , если каждая строка в $S 1$ ортогональна к каждой строке в $S 2$ . Если $тусклый (S) = М + Н$ , то $S 1$ и $S 2$ пересекаются в одной точке $O$ . Если $dim (S)> M + N,$ то $S 1$ и $S 2$ могут пересекаться, а могут и не пересекаться. Если $dim (S) = M + N,$ тогда линия в $S 1$ и линия в $S 2$ могут пересекаться, а могут и не пересекаться; если они пересекаются, то они пересекаются в O. ^[1]
^ Предполагая, что 4-пространство ориентировано, тогда ориентация для каждой из 2-плоскостей $A$ и $B$ может быть выбрана в соответствии с этой ориентацией 4-пространства двумя одинаково допустимыми способами. Если углы от одного такого выбора ориентации $A$ и $B$ равны ${α, β}$ , то углы от другого выбора равны ${- α, - β}$ . (Чтобы измерить угол поворота в 2-плоскостях, необходимо указать ориентацию на этой 2-плоскостях. Угол поворота - $π$ совпадает с одним из + $π$ . Если ориентация четырехмерного пространства меняется на противоположную, результирующие углы будут либо ${α, - β},$ либо ${- α, β}$ . Следовательно, абсолютные значения углов четко определены полностью независимо от любого выбора.)
^ Пример противоположных знаков: центральная инверсия; в кватернионном представлении действительные части равны +1 и -1, и центральная инверсия не может быть выполнена одним простым вращением.

Ссылки [ править ]

^ Schoute 1902, Том 1.
^ Karcher, Герман, "Bianchi-Pinkall Плоский Тори в S 3 " , 3DXM документации , 3DXM консорциум , извлекаться 5 апреля 2015
^ Pinkall, У. (1985). "Торы Хопфа в S 3 " (PDF) . Изобретать. Математика . 81 (2): 379–386. Bibcode : 1985InMat..81..379P . DOI : 10.1007 / bf01389060 . S2CID 120226082 . Проверено 7 апреля 2015 года .
^ Banchoff, Томас Ф. (1990). За пределами третьего измерения . ISBN WH Freeman & Co. 978-0716750253. Проверено 8 апреля 2015 года .
^ Erdoğdu, M .; Оздемир, М. (2015). «Создание четырехмерных матриц вращения» . Cite journal requires |journal= (help)

Библиография [ править ]

Л. ван Эльфринкхоф : Eene eigenschap van de orthogonale substitutie van de vierde orde. Handelingen van het 6e Nederlandsch Natuurkundig en Geneeskundig Congres, Делфт, 1897 г.
Феликс Клейн : Элементарная математика с продвинутой точки зрения: арифметика, алгебра, анализ. Перевод Э. Р. Хедрика и К. А. Ноубла. Компания Macmillan, Нью-Йорк, 1932 год.
Генри Паркер Мэннинг : геометрия четырех измерений . The Macmillan Company, 1914. Переиздано Dover Publications без изменений и без сокращений в 1954 году. В этой монографии четырехмерная геометрия развивается из первых принципов синтетическим аксиоматическим путем. Работу Маннинга можно рассматривать как прямое расширение работ Евклида и Гильберта до четырех измерений.
Дж. Конвей и Д. А. Смит: О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия. А.К. Петерс, 2003.
Артур Стаффорд Хэтэуэй (1902) Пространство кватернионов , Труды Американского математического общества 3 (1): 46–59.
Йохан Э. Мебиус, Матричное доказательство теоремы о представлении кватернионов для четырехмерных вращений. , arXiv Общая математика 2005.
Йохан Э. Мебиус, Вывод формулы Эйлера – Родригеса для трехмерных вращений из общей формулы для четырехмерных вращений. , arXiv Общая математика 2007.
PHSchoute : Mehrdimensionale Geometrie . Лейпциг: GJGöschensche Verlagshandlung. Том 1 (Sammlung Schubert XXXV): Die linearen Räume, 1902. Том 2 (Sammlung Schubert XXXVI): Die Polytope, 1905.
Стрингхэм, Ирвинг (1901). «О геометрии плоскостей в четырехмерном параболическом пространстве» . Труды Американского математического общества . 2 (2): 183–214. DOI : 10,1090 / s0002-9947-1901-1500564-2 . JSTOR 1986218 .
Мелек Эрдогду, Мустафа Оздемир, Создание четырехмерных матриц вращения, https://www.researchgate.net/publication/283007638_Generating_Four_Dimensional_Rotation_Matrices , 2015.
Даниэле Мортари, «О концепции жесткого вращения в n-мерных пространствах», Journal of the Astronautical Sciences 49.3 (июль 2001 г.), https://pdfs.semanticscholar.org/f7d8/63ceb75277133592ef9e92457b6705b1264f.pdf
Замбой, Михал (8 января 2021 г.). «Синтетическое построение расслоения Хопфа в двойной ортогональной проекции 4-пространства». arXiv : 2003.09236v2 [ math.HO ].

[2] Две плоские подпространства $S 1$ и $S 2$ размерностей $М$ и $N$ евклидова пространства $S$ , по меньшей мере $М + N$ размеры называются полностью ортогональны , если каждая строка в $S 1$ ортогональна к каждой строке в $S 2$ . Если $тусклый (S) = М + Н$ , то $S 1$ и $S 2$ пересекаются в одной точке $O$ . Если $dim (S)> M + N,$ то $S 1$ и $S 2$ могут пересекаться, а могут и не пересекаться. Если $dim (S) = M + N,$ тогда линия в $S 1$ и линия в $S 2$ могут пересекаться, а могут и не пересекаться; если они пересекаются, то они пересекаются в O. ^[1]

[3] Предполагая, что 4-пространство ориентировано, тогда ориентация для каждой из 2-плоскостей $A$ и $B$ может быть выбрана в соответствии с этой ориентацией 4-пространства двумя одинаково допустимыми способами. Если углы от одного такого выбора ориентации $A$ и $B$ равны ${α, β}$ , то углы от другого выбора равны ${- α, - β}$ . (Чтобы измерить угол поворота в 2-плоскостях, необходимо указать ориентацию на этой 2-плоскостях. Угол поворота - $π$ совпадает с одним из + $π$ . Если ориентация четырехмерного пространства меняется на противоположную, результирующие углы будут либо ${α, - β},$ либо ${- α, β}$ . Следовательно, абсолютные значения углов четко определены полностью независимо от любого выбора.)

[4] Пример противоположных знаков: центральная инверсия; в кватернионном представлении действительные части равны +1 и -1, и центральная инверсия не может быть выполнена одним простым вращением.

[1] Schoute 1902, Том 1.

[Karcher-5] Karcher, Герман, "Bianchi-Pinkall Плоский Тори в S 3 " , 3DXM документации , 3DXM консорциум , извлекаться 5 апреля 2015

[Pinkall-6] Pinkall, У. (1985). "Торы Хопфа в S 3 " (PDF) . Изобретать. Математика . 81 (2): 379–386. Bibcode : 1985InMat..81..379P . DOI : 10.1007 / bf01389060 . S2CID 120226082 . Проверено 7 апреля 2015 года .

[Banchoff-7] Banchoff, Томас Ф. (1990). За пределами третьего измерения . ISBN WH Freeman & Co. 978-0716750253. Проверено 8 апреля 2015 года .

[8] Erdoğdu, M .; Оздемир, М. (2015). «Создание четырехмерных матриц вращения» . Cite journal requires |journal= (help)

[а]