Теорема Каца – Бернштейна - одна из первых характеризационных теорем математической статистики . Легко видеть, что если случайные величины а также независимы и нормально распределены с одинаковой дисперсией, то их сумма и разность также независимы. Теорема Каца – Бернштейна утверждает, что независимость суммы и разности двух независимых случайных величин характеризует нормальное распределение ( распределение Гаусса ). Эта теорема была независимо доказана польско-американским математиком Марком Кацем и советским математиком Сергеем Бернштейном .
Формулировка
Позволять а также являются независимыми случайными величинами. Если а также независимы тогда а также имеют нормальные распределения ( гауссово распределение).
Обобщение
Обобщением теоремы Каца – Бернштейна является теорема Дармуа – Скитовича , в которой вместо суммы и разности рассматриваются линейные формы от n независимых случайных величин.
Рекомендации
- Кац М. «О характеристике нормального распределения», Американский журнал математики . 1939. 61. С. 726—728.
- Бернштейн С.Н. «Об одном свойстве, характеризующем гауссово распределение», Известия Ленинградского политехнического института . 1941. Т. 217, № 3. С. 21—22.