В теории вероятностей , лемма Келли утверждает , что для стационарной непрерывного времени марковской цепи , процесс определяется как процесс обращенного времени имеет такое же стационарное распределение как процесс вперед время. [1] Теорема названа в честь Фрэнка Келли . [2] [3] [4] [5]
Заявление
Для цепи Маркова с непрерывным временем с пространством состояний S и матрицей скорости переходов Q (с элементами q ij ), если мы можем найти набор чисел q ' ij и π i в сумме с 1, где [1]
тогда q ' ij - скорости обратного процесса, а π i - стационарное распределение для обоих процессов.
Доказательство
Учитывая предположения, сделанные относительно q ij и π i, мы можем видеть
таким образом, уравнения глобального баланса удовлетворяются, и π i является стационарным распределением для обоих процессов.
Рекомендации
- ^ a b Бушери, Ричард Дж .; ван Дейк, Н.М. (2011). Сети массового обслуживания: фундаментальный подход . Springer. п. 222. ISBN. 144196472X.
- ^ Келли, Фрэнк П. (1979). Обратимость и стохастические сети . Дж. Вили. п. 22. ISBN 0471276014.
- ^ Уолранд, Жан (1988). Введение в сети массового обслуживания . Прентис Холл. п. 63 (лемма 2.8.5). ISBN 013474487X.
- ^ Келли, FP (1976). «Сети очередей». Достижения в прикладной теории вероятностей . 8 (2): 416–432. DOI : 10.2307 / 1425912 . JSTOR 1425912 .
- ^ Асмуссен, SR (2003). «Марковские скачковые процессы». Прикладная вероятность и очереди . Стохастическое моделирование и прикладная вероятность. 51 . С. 39–59. DOI : 10.1007 / 0-387-21525-5_2 . ISBN 978-0-387-00211-8.