См. также глоссарий коммутативной алгебры , глоссарий классической алгебраической геометрии и глоссарий теории колец . О теоретико-числовых приложениях см. Глоссарий арифметики и диофантовой геометрии .
Для простоты ссылка на базовую схему часто опускается; т. е. схема будет схемой над некоторой фиксированной базовой схемой S , а морфизм — S -морфизмом.
Алгебраическая геометрия занимала центральное место в математике прошлого века. К этой области относятся глубочайшие результаты Абеля, Римана, Вейерштрасса, многие важнейшие работы Клейна и Пуанкаре. В конце прошлого и начале нынешнего века отношение к алгебраической геометрии резко изменилось. ... Стиль мышления, вполне сложившийся в то время в алгебраической геометрии, был слишком далек от теоретико-множественного и аксиоматического духа, определявшего тогда развитие математики. ... Примерно в середине нынешнего века алгебраическая геометрия в значительной степени претерпела такой процесс преобразования. В результате она снова может претендовать на то место, которое она когда-то занимала в математике.
В то время как большая часть ранних работ по модулям, особенно после [Mum65], делала упор на построение точных или грубых пространств модулей, в последнее время акцент сместился в сторону изучения семейств многообразий, то есть в сторону функторов модулей и стеков модулей. Основная задача — понять, какие объекты образуют «хорошие» семьи. Как только будет установлена хорошая концепция «хороших семейств», существование грубого пространства модулей должно стать почти автоматическим. Грубое пространство модулей больше не является фундаментальным объектом, а является лишь удобным способом отслеживания определенной информации, которая скрыта только в функторе модулей или стеке модулей.
По собственному мнению Гротендика, истории схем почти не должно быть, а должна быть только история сопротивления им: ... Нет серьезного исторического вопроса о том, как Гротендик нашел свое определение схем. Это было в воздухе. Серр хорошо сказал, что схемы никто не изобретал (беседа 1995 г.). Вопрос в том, что заставило Гротендика поверить в то, что он должен использовать это определение, чтобы упростить 80-страничную статью Серра примерно до 1000 страниц « Элементов геометрической алгебры» ?
Многомерным аналогом этальных морфизмов являются гладкие морфизмы . Существует множество различных характеристик гладкости. Следующие эквивалентные определения гладкости морфизма f : Y → X :