Форма волны Маасса

---

В математике формы Мааса или волновые формы Мааса изучаются в теории автоморфных форм . Формы Маасса представляют собой комплекснозначные гладкие функции верхней полуплоскости, которые аналогичным образом преобразуются под действием дискретной подгруппы модулярных форм. Они являются собственными формами гиперболического оператора Лапласа, определенного на и удовлетворяют определенным условиям роста на точках возврата фундаментальной области . В отличие от модулярных форм, формы Мааса не обязательно должны быть голоморфными. Впервые их изучил Ганс Маасс в 1949 году.${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R})}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \Гамма}$

Его можно расширить до операции, определив:${\displaystyle \mathbb {H} \cup \{\infty \} \cup \mathbb {\mathbb {R} } }$

определенный на , инвариантен относительно действия .${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R})}$

Позвольте быть дискретной подгруппой . Фундаментальной областью для является открытое множество , так что существует система представителей с${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle F\subset \mathbb {H} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle \Gamma \обратная косая черта \mathbb {H}}$

Фундаментальная область модулярной группы определяется выражением${\displaystyle \Gamma (1):=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z})}$

Функция называется -инвариантной, если она выполняется для всех и всех .${\displaystyle е:\mathbb {H} \to \mathbb {C}}$${\displaystyle \Гамма}$${\ displaystyle f (\ gamma z) = f (z)}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma}$${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$

---