Функции стресса

---

В линейной упругости уравнения, описывающие деформацию упругого тела, подверженного только поверхностным силам (или объемным силам, которые могут быть выражены как потенциалы) на границе, представляют собой (с использованием обозначения индекса ) уравнение равновесия:

где – тензор напряжений , и уравнения совместности Бельтрами-Мишелла:${\ Displaystyle \ сигма}$

Общее решение этих уравнений может быть выражено через тензор напряжений Бельтрами . Функции напряжения выводятся как частные случаи этого тензора напряжений Бельтрами, который, хотя и менее общий, иногда дает более удобный метод решения уравнений упругости.

где - произвольное тензорное поле второго ранга, которое по крайней мере дважды дифференцируемо и известно как тензор напряжений Бельтрами . ^[1] Его компоненты известны как функции напряжений Бельтрами . является псевдотензором Леви-Чивиты , все значения которого равны нулю, кроме тех, в которых индексы не повторяются. Для набора неповторяющихся индексов значение компонента будет +1 для четных перестановок индексов и -1 для нечетных перестановок. И является оператором Набла . Чтобы тензор напряжений Бельтрами удовлетворял уравнениям совместности Бельтрами-Мишелла в дополнение к уравнениям равновесия, дополнительно требуется, чтобы${\ Displaystyle \ Phi _ {мн}}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle \ набла}$${\ Displaystyle \ Phi _ {мн}}$ не менее четырех раз непрерывно дифференцируема.

Функции напряжений Максвелла определяются в предположении, что тензор напряжений Бельтрами ограничен формой. ^[2]${\ Displaystyle \ Phi _ {мн}}$

Решение эластостатической задачи теперь состоит из нахождения трех функций напряжения, которые дают тензор напряжения, который подчиняется уравнениям совместимости Бельтрами-Мишелла для напряжения. Подстановка выражений для напряжений в уравнения Бельтрами-Мишелла дает выражение задачи упругости через функции напряжений: ^[3]

---