Многополюсный магнит

Многополюсные магниты - это магниты, состоящие из нескольких отдельных магнитов, обычно используемых для управления пучками заряженных частиц . Каждый тип магнита служит определенной цели.

• Дипольные магниты используются для изменения траектории движения частиц.
• Квадрупольные магниты используются для фокусировки пучков частиц.
• Секступольные магниты используются для коррекции цветности, вносимой квадрупольными магнитами ^[1]

Уравнения магнитного поля [ править ]

Магнитное поле идеального многополюсного магнита в ускорителе обычно моделируется как не имеющее (или постоянное) составляющее, параллельное номинальному направлению ( направлению) луча, а поперечные составляющие могут быть записаны как комплексные числа: ^[2]${\ displaystyle z}$

${\ Displaystyle B_ {y} + iB_ {x} = C_ {n} \ cdot (x + iy) ^ {n-1}}$

где и - координаты в плоскости, поперечной номинальному направлению луча. - комплексное число, определяющее ориентацию и силу магнитного поля. и - компоненты магнитного поля в соответствующих направлениях. Поля с действительным значением называются «нормальными», а поля с чисто мнимым значением - «перекошенными».${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle C_ {n}}$${\ displaystyle B_ {x}}$${\ displaystyle B_ {y}}$${\ displaystyle C_ {n}}$${\ displaystyle C_ {n}}$

Первые несколько мультипольных полей

п	название	силовые линии магнитного поля	пример устройства
1	диполь
2	квадруполь
3	секступоль

Уравнение хранимой энергии [ править ]

Для электромагнита с цилиндрическим отверстием, создающего чистое мультипольное поле порядка , запасенная магнитная энергия равна:${\ displaystyle n}$

${\displaystyle U_{n}={\frac {n!^{2}}{2n}}\pi \mu _{0}\ell N^{2}I^{2}.}$

Здесь - проницаемость свободного пространства, - эффективная длина магнита (длина магнита, включая окаймляющие поля), - количество витков в одной из катушек (так что все устройство имеет витки) и это ток, протекающий в катушках. Формулировка энергии в терминах может быть полезной, поскольку величину поля и радиус отверстия не нужно измерять. ${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle N}$${\displaystyle 2nN}$${\displaystyle I}$${\displaystyle NI}$

Обратите внимание, что для неэлектромагнита это уравнение все еще выполняется, если магнитное возбуждение может быть выражено в единицах Ампера.

Вывод [ править ]

Уравнение для запасенной энергии в произвольном магнитном поле: ^[3]

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}\int \left({\frac {B^{2}}{\mu _{0}}}\right)\,d\tau .}$

Здесь - проницаемость свободного пространства, - величина поля и - бесконечно малый элемент объема. Теперь для электромагнита с цилиндрическим отверстием радиуса , создающего чистое мультипольное поле порядка , этот интеграл принимает вид:${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle d\tau }$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle U_{n}={\frac {1}{2\mu _{0}}}\int ^{\ell }\int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }B^{2}\,d\tau .}$

Закон Ампера для многополюсных электромагнитов дает поле внутри отверстия как: ^[4]

${\displaystyle B(r)={\frac {n!\mu _{0}NI}{R^{n}}}r^{n-1}.}$

Здесь - радиальная координата. Можно видеть, что поле диполя постоянно, поле квадрупольного магнита линейно увеличивается (т. Е. Имеет постоянный градиент), а поле секступольного магнита увеличивается параболически (т. Е. Имеет постоянную вторую производную). Подстановка этого уравнения в предыдущее уравнение для дает:${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle U_{n}}$

${\displaystyle U_{n}={\frac {1}{2\mu _{0}}}\int ^{\ell }\int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {n!\mu _{0}NI}{R^{n}}}r^{n-1}\right)^{2}\,d\tau ,}$

${\displaystyle U_{n}={\frac {1}{2\mu _{0}}}\int _{0}^{R}\left({\frac {n!\mu _{0}NI}{R^{n}}}r^{n-1}\right)^{2}(2\pi \ell r\,dr),}$

${\displaystyle U_{n}={\frac {\pi \mu _{0}\ell n!^{2}N^{2}I^{2}}{R^{2n}}}\int _{0}^{R}r^{2n-1}\,dr,}$

${\displaystyle U_{n}={\frac {\pi \mu _{0}\ell n!^{2}N^{2}I^{2}}{R^{2n}}}\left({\frac {R^{2n}}{2n}}\right),}$

${\displaystyle U_{n}={\frac {n!^{2}}{2n}}\pi \mu _{0}\ell N^{2}I^{2}.}$

Ссылки [ править ]