Сеть Петри

Сеть Петри , также известная как место / переход (PT) сети , является одним из нескольких математических языков моделирования для описания распределенных систем . Это класс динамических систем с дискретными событиями . Сеть Петри - это ориентированный двудольный граф, который имеет два типа элементов, места и переходы, изображенные как белые кружки и прямоугольники соответственно. Место может содержать любое количество жетонов, обозначенных черными кружками. Переход разрешен, если все места, подключенные к нему как входы, содержат хотя бы один токен. Некоторые источники ^[1] утверждают, что сети Петри были изобретены в августе 1939 года Карлом Адамом Петри.- в 13 лет - для описания химических процессов.

Как и отраслевые стандарты , такие как UML диаграммы деятельности , бизнес - процессы модель и нотация и событийно-управляемые цепочки процессов , сети Петри предлагает графическое обозначение для процессов ступенчаты , которые включают выбор, итерацию и одновременное выполнение . В отличие от этих стандартов, сети Петри имеют точное математическое определение семантики их выполнения с хорошо развитой математической теорией для анализа процессов ^{[ необходима ссылка ]} .

(а) Пример траектории сети Петри

Основы сети Петри [ править ]

Сеть Петри состоит из мест , переходов и дуг . Дуги проходят от места к переходу или наоборот, но никогда между местами или переходами. Места, из которых проходит дуга к переходу, называются входными местами перехода; места, в которые идут дуги от перехода, называются местами вывода перехода.

Графически места в сети Петри могут содержать дискретное количество меток, называемых токенами . Любое распределение жетонов по местам будет представлять конфигурацию сети, называемую маркировкой . В абстрактном смысле, относящемся к диаграмме сети Петри, переход сети Петри может сработать, если он разрешен , т. Е. Имеется достаточно токенов во всех его входных местах; когда срабатывает переход, он потребляет необходимые входные токены и создает токены в своих выходных местах. Обжиг является атомарным, т.е. одиночным непрерывным шагом.

Если не определена политика выполнения (например, строгий порядок переходов, описывающий приоритет), выполнение сетей Петри недетерминировано : когда несколько переходов разрешены одновременно, они будут срабатывать в любом порядке.

Поскольку срабатывание не является детерминированным и несколько токенов могут присутствовать в любом месте сети (даже в одном месте), сети Петри хорошо подходят для моделирования параллельного поведения распределенных систем.

Формальное определение и основная терминология [ править ]

Сети Петри - это системы с переходом между состояниями, которые расширяют класс сетей, называемых элементарными сетями. ^[2]

Определение 1. сетка представляет собой тройную где: ${\ Displaystyle N = (P, T, F)}$

${\ displaystyle P}$ и - непересекающиеся конечные множества мест и переходов соответственно. ${\ displaystyle T}$
${\ Displaystyle F \ substeq (P \ times T) \ чашка (T \ times P)}$ представляет собой набор (направленных) дуг (или потоковых соотношений).

Определение 2. Учитывая чистый N = ( P , T , F ), A конфигурация представляет собой набор С , так что С ⊆ P .

Сеть Петри с разрешенным переходом.

Срабатывает сеть Петри, которая следует после перехода (начальная сеть Петри на рисунке выше).

Определение 3. элементарная сетка представляет собой сеть в виде EN = ( N , C ) , где:

N = ( P , T , F ) - сеть.
C такова, что C ⊆ P - конфигурация .

Определение 4. сеть Петри представляет собой сеть в виде ПНА = ( N , M , W ), которая проходит элементарную сеть таким образом , чтобы:

N = ( P , T , F ) - сеть.
M : P → Z - местное мультимножество , где Z - счетное множество . M расширяет концепцию конфигурации и обычно описывается со ссылкой на диаграммы сети Петри как маркировку .
W : F → Z - это мультимножество дуг , так что количество (или вес) каждой дуги является мерой кратности дуги .

Если сеть Петри эквивалентна элементарной сети, то Z может быть счетным множеством {0,1}, и те элементы в P, которые отображаются в 1 при M, образуют конфигурацию. Точно так же, если сеть Петри не является элементарной сетью, то мультимножество M можно интерпретировать как представляющее не одноэлементный набор конфигураций. В этом отношении M расширяет понятие конфигурации элементарных сетей на сети Петри.

На схеме сети Петри (см. Верхний рисунок справа) места условно изображаются кружками, переходы - длинными узкими прямоугольниками, а дуги - односторонними стрелками, показывающими соединения мест с переходами или переходы к местам. Если бы диаграмма представляла собой элементарную сеть, то эти места в конфигурации были бы условно изображены в виде кругов, где каждый круг включает в себя единственную точку, называемую токеном . На данной диаграмме сети Петри (см. Справа) кружки мест могут охватывать более одного токена, чтобы показать, сколько раз место появляется в конфигурации. Конфигурация токенов, распределенных по всей диаграмме сети Петри, называется маркировкой .

На верхнем рисунке (см. Справа) позиция p ₁ является входной точкой перехода t ; в то время как позиция p ₂ является местом выхода к тому же переходу. Пусть PN ₀ (верхний рисунок) будет сетью Петри с настроенной маркировкой M ₀ , а PN ₁ (нижний рисунок) будет сетью Петри с настроенной маркировкой M ₁ . Конфигурация PN ₀ обеспечивает переход t через свойство, что все входные позиции имеют достаточное количество токенов (показанных на рисунках как точки), «равное или большее», чем кратности на их соответствующих дугах длят . Один и только один раз переход активируется, переход срабатывает. В этом примере срабатывание перехода t генерирует карту, которая имеет маркировку, сконфигурированную M ₁ в изображении M _0, и приводит к сети Петри PN ₁ , показанной на нижнем рисунке. На диаграмме правило активации для перехода можно охарактеризовать вычитанием количества токенов из его входных позиций, равным кратности соответствующих входных дуг, и накопления нового количества токенов в выходных местах, равного кратности соответствующих выходные дуги.

Замечание 1. Точное значение слова «равно или больше» будет зависеть от точных алгебраических свойств сложения, применяемого к Z в правиле активации, где тонкие изменения алгебраических свойств могут привести к другим классам сетей Петри; например, алгебраические сети Петри. ^[3]

Следующее формальное определение частично основано на ( Peterson 1981 ). Существует множество альтернативных определений.

Синтаксис [ править ]

Петри графа ( так называемый Петри некоторыми, но смотри ниже) представляет собой 3 - кортеж , где ${\ Displaystyle (S, T, W)}$

S представляет собой конечное множество из мест
T - конечное множество переходов
S и T не пересекаются , т.е. ни один объект не может быть одновременно местом и переходом.
${\ Displaystyle W: (S \ times T) \ чашка (T \ times S) \ to \ mathbb {N}}$ является мультимножеством из дуг , т.е. присваивает каждый дугового неотрицательной целого числа дуги кратность (или вес); обратите внимание, что никакая дуга не может соединять два места или два перехода.

Отношение потока является множество дуг: . Во многих учебниках, дуги могут иметь только множественность 1. Эти тексты часто определяют с помощью сетей Петри F вместо W . При использовании этой конвенции, чистый граф Петри представляет собой двудольный мультиграф с узлом перегородок S и T . ${\ Displaystyle F = \ {(x, y) \ mid W (x, y)> 0 \}}$ ${\ Displaystyle (S \ чашка T, F)}$

Запрограммированное переходный т есть множество его входных позиции : ; его postset является множество его выходных мест : . Аналогичны определения пред- и постсетей мест. ${}^{\bullet }t=\{s\in S\mid W(s,t)>0\}$ $t^{\bullet }=\{s\in S\mid W(t,s)>0\}$

Маркировка в сети Петри (графа) является мультимножеством своих мест, то есть отображение . Мы говорим, что маркировка присваивает каждому месту количество жетонов . $M:S\to \mathbb {N}$

Сеть Петри ( так называемые отмечена Петри некоторых см выше) представляет собой 4-кортеж , где $(S,T,W,M_{0})$

$(S,T,W)$ граф сети Петри;
$M_{0}$ - начальная разметка , разметка графа сети Петри.

Семантика выполнения [ править ]

Прописью:

запуск перехода $t$ в маркировке $M$ потребляет токены из каждого из его входных мест $s$ и производит токены в каждом из его выходных мест $s$ $W(s,t)$ $W(t,s)$
переход разрешен (он может сработать ) в $M,$ если в его входных местах достаточно токенов для возможного потребления, то есть тогда и только тогда . $\forall s:M(s)\geq W(s,t)$

Обычно нас интересует, что может произойти, если переходы могут непрерывно запускаться в произвольном порядке.

Мы говорим, что маркировка $M '$ достижима из маркировки $M$ за один шаг, если ; мы говорим , что она достижима из $М$ , если , где есть рефлексивное транзитивное замыкание в ; то есть, если до него можно добраться за 0 или более шагов. $M{\underset {G}{\longrightarrow }}M'$ $M{\overset {*}{\underset {G}{\longrightarrow }}}M'$ ${\overset {*}{\underset {G}{\longrightarrow }}}$ ${\underset {G}{\longrightarrow }}$

Для (маркированной) сети Петри нас интересуют запуски, которые могут быть выполнены, начиная с начальной маркировки . Его набором меток достижимости является набор $N=(S,T,W,M_{0})$ $M_{0}$ $R(N)\ {\stackrel {D}{=}}\ \left\{M'{\Bigg |}M_{0}{\xrightarrow[{(S,T,W)}]{*}}M'\right\}$

Граф достижимости из $N$ является переход отношение ограничивается его достижимости маркировки . Это пространство состояний сети. ${\underset {G}{\longrightarrow }}$ $R(N)$

Последовательность срабатывания сети Петри с графом $G$ и начальной разметкой - это последовательность переходов, такая что . Набор последовательностей срабатывания обозначается как . $M_{0}$ ${\vec {\sigma }}=\langle t_{1}\cdots t_{n}\rangle$ $M_{0}{\underset {G,t_{1}}{\longrightarrow }}M_{1}\wedge \cdots \wedge M_{n-1}{\underset {G,t_{n}}{\longrightarrow }}M_{n}$ $L(N)$

Варианты определения [ править ]

Как уже отмечалось, общая вариация запретить дуги кратностей и заменить мешок дуг W с простым набором, называется отношение потока , . Это не ограничивает выразительную силу, поскольку оба могут представлять друг друга. $F\subseteq (S\times T)\cup (T\times S)$

Другой распространенный вариант, например, в Desel and Juhás (2001), ^[4], - это возможность определять пропускную способность на местах. Это обсуждается ниже в разделе расширений .

Формулировка в терминах векторов и матриц [ править ]

Разметки сети Петри можно рассматривать как векторы неотрицательных целых чисел длины . $(S,T,W,M_{0})$ $|S|$

Ее переход отношение может быть описано как пара с помощью матриц : $|S|$ $|T|$

$W^{-}$ , определяется $\forall s,t:W^{-}[s,t]=W(s,t)$
$W^{+}$ , определяется $\forall s,t:W^{+}[s,t]=W(t,s).$

Тогда их отличие

$W^{T}=-W^{-}+W^{+}$

может использоваться для описания достижимых отметок в терминах умножения матриц следующим образом. Для любой последовательности переходов $w$ напишите вектор, который отображает каждый переход в его количество вхождений в $w$ . Тогда у нас есть $o(w)$

$R(N)=\{M\mid \exists w:\ w{\text{ is a firing sequence of }}N\ {\text{ and }}\ M=M_{0}+W^{T}\cdot o(w)\}$ .

Обратите внимание, что необходимо требовать, чтобы $w$ была последовательностью срабатывания; разрешение произвольных последовательностей переходов обычно дает больший набор.

(б) Пример сети Петри

W^{-}={\begin{bmatrix}*&t1&t2\\p1&1&0\\p2&0&1\\p3&0&1\\p4&0&0\end{bmatrix}},\ W^{+}={\begin{bmatrix}*&t1&t2\\p1&0&1\\p2&1&0\\p3&1&0\\p4&0&1\end{bmatrix}},\ W^{T}={\begin{bmatrix}*&t1&t2\\p1&-1&1\\p2&1&-1\\p3&1&-1\\p4&0&1\end{bmatrix}}

M_{0}={\begin{bmatrix}1&0&2&1\end{bmatrix}}

Математические свойства сетей Петри [ править ]

Одна вещь, которая делает сети Петри интересными, заключается в том, что они обеспечивают баланс между мощностью моделирования и анализируемостью: многие вещи, которые хотелось бы знать о параллельных системах, могут быть автоматически определены для сетей Петри, хотя определение некоторых из этих вещей в целом очень дорого. дело. Было изучено несколько подклассов сетей Петри, которые все еще могут моделировать интересные классы параллельных систем, в то время как эти проблемы становятся проще.

Обзор таких проблем принятия решений с результатами о разрешимости и сложности для сетей Петри и некоторых подклассов можно найти в Esparza and Nielsen (1995). ^[5]

Достижимость [ править ]

Проблема достижимости сетей Петри состоит в том, чтобы решить, учитывая сеть Петри N и маркировку M , нужно ли . $M\in R(N)$

Очевидно, что это вопрос обхода графа достижимости, определенного выше, до тех пор, пока мы не достигнем запрошенной отметки или не узнаем, что ее больше нельзя найти. Это сложнее, чем может показаться на первый взгляд: график достижимости, как правило, бесконечен, и нелегко определить, когда можно безопасно остановиться.

Фактически, эта проблема была показана как EXPSPACE- трудная ^{[6] за} годы до того, как была показана вообще разрешимость (Mayr, 1981). Продолжают публиковаться статьи о том, как это сделать эффективно. ^[7] В 2018 году Czerwinski et al. улучшил нижнюю границу и показал, что проблема НЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ . ^[8]

В то время как достижимость кажется хорошим инструментом для поиска ошибочных состояний, для практических задач построенный граф обычно имеет слишком много состояний для вычисления. Чтобы облегчить эту проблему, линейная временная логика обычно используется в сочетании с методом таблиц, чтобы доказать, что такие состояния не могут быть достигнуты. Линейная темпоральная логика использует технику полурешения, чтобы определить, действительно ли состояние может быть достигнуто, путем нахождения набора необходимых условий для достижения состояния, а затем доказательства того, что эти условия не могут быть выполнены.

Живучесть [ править ]

Сеть Петри, в которой переход мертв, а для всех - жив

t_{0}

j>0,

t_{j}

L_{j}

Сети Петри можно охарактеризовать как имеющие разную степень живучести . Сеть Петри называется -живой тогда и только тогда, когда все ее переходы являются -живыми, где переход $L_{1}-L_{4}$ $(N,M_{0})$ $L_{k}$ $L_{k}$

мертвым , если он никогда не может стрелять, т.е. он не находится в какой-либо последовательности стрельбы в $L(N,M_{0})$
$L_{1}$ -live ( потенциально можно стрелять ), если и только если он может стрелять, т.е. он находится в некоторой последовательности стрельбы в $L(N,M_{0})$
$L_{2}$ -live, если он может срабатывать произвольно часто, т.е. если для каждого положительного целого числа $k$ он встречается не менее $k$ раз в некоторой последовательности срабатывания в $L(N,M_{0})$
$L_{3}$ -живой, если он может срабатывать бесконечно часто, т.е. если существует некоторая фиксированная (обязательно бесконечная) последовательность срабатывания, в которой для каждого положительного целого числа $k$ переход происходит не менее $k$ раз, $L_{3}$
$L_{4}$ -live ( жить ), если он может срабатывать всегда, то есть -live во всех доступных метках в $L_{1}$ $R(N,M_{0})$

Обратите внимание, что требования становятся все более строгими: -liveness подразумевает -liveness, для . $L_{j+1}$ $L_{j}$ ${\textstyle \textstyle {j\in {1,2,3}}}$

Эти определения соответствуют обзору Мураты ^{[9], в} котором дополнительно используется -live как термин для мертвых . $L_{0}$

Ограниченность [ править ]

Граф достижимости N2 .

Место в сети Петри называется k-ограниченным, если оно содержит не более k токенов во всех доступных маркировках, включая начальную маркировку; он считается безопасным, если он 1-ограничен; он ограничен, если он k-ограничен для некоторого k .

( Помеченная ) сеть Петри называется k -ограниченной, безопасной или ограниченной, если все ее места есть. Сеть (граф) Петри называется (структурно) ограниченной, если она ограничена для всех возможных начальных разметок.

Заметим, что сеть Петри ограничена тогда и только тогда, когда ее граф достижимости конечен.

Ограниченность разрешима, глядя на покрытие , путем построения дерева Карпа – Миллера.

Может быть полезно явно наложить ограничения на места в данной сети. Это можно использовать для моделирования ограниченных системных ресурсов.

Некоторые определения сетей Петри явно допускают это как синтаксическую особенность. ^[10] Формально сети Петри с емкостями мест можно определить как кортежи , где - сеть Петри, присвоение емкостей (некоторым или всем) местам, а отношение перехода является обычным, ограниченным маркировкой, в которой каждое место с емкостью не более такого количества жетонов. $(S,T,W,C,M_{0})$ $(S,T,W,M_{0})$ $C:P\rightarrow \!\!\!\shortmid \mathbb {N}$

Неограниченная сеть Петри, N .

Например, если в сети N обоим местам назначена емкость 2, мы получим сеть Петри с емкостью мест, скажем, N2 ; его график достижимости отображается справа.

Двуограниченная сеть Петри, полученная расширением N с помощью "встречных мест".

Как вариант, места можно ограничить, расширив сетку. Точнее , место можно сделать k -ограниченным, добавив «встречное место» с потоком, противоположным потоку места, и добавив жетоны, чтобы получить сумму в обоих местах k .

Дискретные, непрерывные и гибридные сети Петри [ править ]

Так же как и для дискретных событий, существует сети Петри для непрерывных и гибридных дискретно-непрерывных процессов ^[11] , которые являются полезными в дискретном, непрерывной и гибридной теории управления , ^[12] и связанный с дискретным, непрерывным и гибридными автоматами .

Расширения [ править ]

У сетей Петри есть много расширений. Некоторые из них полностью обратно совместимы (например, цветные сети Петри ) с исходной сетью Петри, некоторые добавляют свойства, которые не могут быть смоделированы в исходном формализме сети Петри (например, синхронизированные сети Петри). Хотя обратно-совместимые модели не расширяют вычислительную мощность сетей Петри, они могут иметь более сжатые представления и могут быть более удобными для моделирования. ^[13] Расширения, которые нельзя преобразовать в сети Петри, иногда бывают очень мощными, но обычно не имеют полного набора математических инструментов, доступных для анализа обычных сетей Петри.

Термин « высокоуровневая сеть Петри» используется для обозначения многих формализмов сетей Петри, которые расширяют базовый формализм P / T-сети; это включает цветные сети Петри, иерархические сети Петри, такие как Сети в сетях , и все другие расширения, описанные в этом разделе. Этот термин также используется специально для типа цветных сетей, поддерживаемых CPN Tools .

Краткий список возможных расширений:

Дополнительные виды дуг; два распространенных типа:
- дуга сброса не навязывает предпосылку обжига, и пустеет место при переходе пожаров; это делает достижимость неразрешимой ^{[14], в} то время как некоторые другие свойства, такие как завершение, остаются разрешимыми; ^[15]
- ингибитор дуга накладывает предпосылку , что переход может сработать только тогда , когда место пусто; это позволяет выражать произвольные вычисления числа токенов, что делает формализм Тьюринга полным и подразумевает существование универсальной сети. ^[16]
В стандартной сети Петри жетоны неотличимы. В цветной сети Петри каждый жетон имеет значение. ^[17] В популярных инструментах для раскрашенных сетей Петри, таких как CPN Tools , значения токенов типизированы и могут быть протестированы (с использованием защитных выражений) и обработаны с помощью функционального языка программирования . Дочерняя часть цветных сетей Петри - это правильно сформированные сети Петри , в которых выражения дуги и защиты ограничены, чтобы упростить анализ сети.
Другое популярное расширение сетей Петри - иерархия; это в форме различных представлений, поддерживающих уровни уточнения и абстракции, было изучено Фелингом. Другая форма иерархии встречается в так называемых объектных сетях Петри или объектных системах, где сеть Петри может содержать сети Петри в качестве своих токенов, вызывающих иерархию вложенных сетей Петри, которые взаимодействуют посредством синхронизации переходов на разных уровнях. См. ^[18] для неформального введения в объектные сети Петри.
Система сложения векторов с состояниями (VASS) - формализм, эквивалентный сетям Петри. Однако на поверхностном уровне его можно рассматривать как обобщение сетей Петри. Рассмотрим конечный автомат, в котором каждый переход помечен переходом из сети Петри. Затем сеть Петри синхронизируется с конечным автоматом, т. Е. Переход в автомате выполняется одновременно с соответствующим переходом в сети Петри. Переход в автомате возможен только в том случае, если соответствующий переход в сети Петри разрешен, и только возможно инициировать переход в сети Петри, если в автомате, помеченном им, есть переход из текущего состояния. . (Определение VASS обычно формулируется несколько иначе.)
Приоритетные сети Петри добавляют приоритеты переходам, в результате чего переход не может сработать, если включен переход с более высоким приоритетом (т. Е. Может сработать). Таким образом, переходы находятся в группах приоритета, и, например, группа приоритета 3 может срабатывать только в том случае, если все переходы отключены в группах 1 и 2. В группе приоритета срабатывание все еще недетерминировано.
Недетерминированное свойство было очень ценным, поскольку оно позволяет пользователю абстрагироваться от большого количества свойств (в зависимости от того, для чего используется сеть). Однако в некоторых случаях возникает необходимость в моделировании сроков, а не только структуры модели. Для этих случаев развились синхронизированные сети Петри , в которых есть синхронизированные переходы и, возможно, несинхронизированные переходы (если они есть, то несвязанные по времени переходы имеют более высокий приоритет, чем синхронизированные). Дочерним элементом синхронизированных сетей Петри являются стохастические сети Петри, которые добавляют недетерминированное время за счет регулируемой случайности переходов. Экспоненциальное случайное распределениеобычно используется для "хронометрирования" этих сетей. В этом случае граф достижимости сетей можно использовать как непрерывную цепь Маркова (CTMC).
Дуалистические сети Петри (dP-Nets) - это расширение сети Петри, разработанное Э. Дависом и др. ^[19], чтобы лучше представить реальный процесс. dP-сети уравновешивают двойственность изменение / отсутствие изменений, действие / пассивность, (преобразование) время / пространство и т. д. между двудольными конструкциями преобразования сети Петри и местом, что дает уникальную характеристику маркировки преобразований., т.е. когда преобразование «работает», оно отмечается. Это позволяет преобразованию запускаться (или быть отмеченным) несколько раз, представляя реальное поведение пропускной способности процесса. Обозначение преобразования предполагает, что время преобразования должно быть больше нуля. Нулевое время преобразования, используемое во многих типичных сетях Петри, может быть математически привлекательным, но непрактичным для представления реальных процессов. dP-Nets также используют мощь иерархической абстракции сетей Петри для описания архитектуры процессов . Сложные технологические системы моделируются как ряд более простых сетей, связанных между собой через различные уровни иерархической абстракции. Архитектура процесса пакетного коммутатора продемонстрирована в ^[20]. где требования к разработке организованы вокруг структуры спроектированной системы.

Существует гораздо больше расширений сетей Петри, однако важно иметь в виду, что по мере того, как сложность сети увеличивается с точки зрения расширенных свойств, тем труднее использовать стандартные инструменты для оценки определенных свойств сети. По этой причине рекомендуется использовать наиболее простой тип цепи, возможный для данной задачи моделирования.

Ограничения [ править ]

Типы сетей Петри графически

Вместо того, чтобы расширять формализм сети Петри, мы можем также рассмотреть возможность его ограничения и рассмотреть определенные типы сетей Петри, полученные путем ограничения синтаксиса определенным образом. Обыкновенные сети Петри - это сети, в которых все веса дуги равны 1. Кроме того, обычно используются и изучаются следующие типы обычных сетей Петри:

В конечном автомате (SM) каждый переход имеет одну входящую дугу и одну исходящую дугу, и все маркировки имеют ровно один токен. Как следствие, может не быть параллелизм , но может быть конфликт (т.е. недетерминизм ). Математически: $\forall t\in T:|t^{\bullet }|=|{}^{\bullet }t|=1$
В отмеченном графе (MG) каждое место имеет одну входящую дугу и одну исходящую дугу. Это означает, что не может не быть конфликта , но может быть параллелизм . Математически: $\forall s\in S:|s^{\bullet }|=|{}^{\bullet }s|=1$
В сети со свободным выбором (FC) каждая дуга от места к переходу является либо единственной дугой от этого места, либо единственной дугой к этому переходу, то есть может быть как параллелизм, так и конфликт, но не одновременно . Математически: $\forall s\in S:(|s^{\bullet }|\leq 1)\vee ({}^{\bullet }(s^{\bullet })=\{s\})$
Расширенный свободный выбор (EFC) - сеть Петри, которая может быть преобразована в FC .
В сети асимметричного выбора (AC) параллелизм и конфликт (в сумме, путаница ) могут возникать, но не симметрично . Математически: $\forall s_{1},s_{2}\in S:(s_{1}{}^{\bullet }\cap s_{2}{}^{\bullet }\neq \emptyset )\to [(s_{1}{}^{\bullet }\subseteq s_{2}{}^{\bullet })\vee (s_{2}{}^{\bullet }\subseteq s_{1}{}^{\bullet })]$

Сети рабочего процесса [ править ]

Сети рабочего процесса (WF-сети) - это подкласс сетей Петри, предназначенный для моделирования рабочего процесса действий процесса. ^[21] Переходы WF-net назначаются задачам или действиям, а места назначаются до / после условий. У WF-сетей есть дополнительные структурные и эксплуатационные требования, в основном добавление одного места ввода (источника) без предыдущих переходов и места вывода (приемника) без последующих переходов. Соответственно, могут быть определены маркировки начала и завершения, которые представляют состояние процесса.

WF-сети обладают свойством надежности , ^[21] указывающим, что процесс с отметкой начала k токенов в его исходном месте, может достичь состояния завершения, отмеченного k токенами в его месте приемника (определяется как k- звук WF-net) . Кроме того, все переходы в процессе могут срабатывать (т. Е. Для каждого перехода существует достижимое состояние, в котором переход разрешен). Общий звук (G-звук) WF-net определяется как k -звук для каждого k > 0. ^[22]

Направленный путь в сети Петри определяется как последовательность узлов (мест и переходов), соединенных направленными дугами. Элементарный путь включает в себя каждый узел в последовательности только один раз.

Хорошо обрабатываются сеть Петри является чистой , в котором есть не полностью различный элементарный путь между местом и переходом (или переходом и местом), то есть, если есть два пути между парой узлов , то эти пути разделяют узел . Ациклическая хорошо управляемая WF-сеть - это звук (звук G). ^[23]

Расширенная WF-сеть - это сеть Петри, состоящая из WF-сети с дополнительным переходом t (переход с обратной связью). Место стока соединено как входное место перехода t, а место истока - как его выходное место. Запуск перехода вызывает итерацию процесса (Примечание: расширенная WF-сеть не является WF-сетью). ^[21]

WRI (Хорошо обрабатывается с помощью регулярных итераций) WF-net - это расширенная ациклическая хорошо обрабатываемая WF-сеть. Сеть WRI-WF может быть построена как композиция сетей, т. Е. Замена перехода внутри сети WRI-WF подсетью, которая является сетью WRI-WF. Результат - тоже WRI-WF-net. WRI-WF-сети являются G-звуком, ^[23] поэтому, используя только строительные блоки WRI-WF-net, можно получить WF-сети, которые имеют G-звук по конструкции.

Дизайн матричной структуры (DSM) может моделировать процесс отношений, а также использоваться для планирования процесса. В DSM-сети являются реализацией DSM на основе планов в рабочие процессы с помощью сетей Петри, и эквивалентны МО-WF-сети. Процесс построения DSM-сети обеспечивает свойство прочности полученной сети.

Другие модели параллелизма [ править ]

Были предложены и другие способы моделирования параллельного вычисления, в том числе векторного сложения систем , связи конечных автоматов , сети процессов Кана , процесс алгебру , то модель актера , и теорию следов . ^[24] Различные модели предлагают компромисс между такими понятиями, как композиционность , модульность и локальность.

Подход к связыванию некоторых из этих моделей параллелизма предлагается в главе Винскеля и Нильсена. ^[25]

Области применения [ править ]

Булево дифференциальное исчисление ^[26]
Моделирование бизнес-процессов ^[27]^[28]
Вычислительная биология ^[29]^[30]
Параллельное программирование ^[31]
Техника управления ^[12]^[32]^[33]
Анализ данных ^[34]
Диагностика (Искусственный интеллект) ^[35]
Дискретное управление процессом ^[36]^[37]^[38]
Теория игр ^[39]
Технологические сети Кана ^[40]
Моделирование процесса ^[41]^[42]^[43]
Техника надежности ^{[ необходима цитата ]}
Моделирование ^[27]
Разработка программного обеспечения ^[11]
Системы управления рабочим процессом ^[44]^[42]^[43]

См. Также [ править ]

Конечный автомат
Язык разметки сети Петри
Петрискрипт
Архитектура процесса
Системы сложения векторов

Ссылки [ править ]

^ Петри, Карл Адам; Рейзиг, Вольфганг (2008). «Сеть Петри» . Scholarpedia . 3 (4): 6477. Bibcode : 2008SchpJ ... 3.6477P . DOI : 10,4249 / scholarpedia.6477 .
^ Розенбург, G .; Энгельфриет Дж. (1998). «Элементарные сетевые системы». In Reisig, W .; Розенберг, Г. (ред.). Лекции о сетях Петри I. Основные модели - достижения в сетях Петри . Конспект лекций по информатике. 1491 . Springer. С. 12–121.
^ Рейсиг, Вольфганг (1991). «Сети Петри и алгебраические спецификации». Теоретическая информатика . 80 (1): 1–34. DOI : 10.1016 / 0304-3975 (91) 90203-e .
^ Дезель, Йорг; Юхас, Габриэль (2001). «Что такое сеть Петри? Неформальные ответы для информированного читателя». В Эриге, Хартмут; и другие. (ред.). Объединение сетей Петри . LNCS. 2128 . Springer. С. 1–25. DOI : 10.1007 / 3-540-45541-8_1 . ISBN 9783540430674.
^ Эспарса, Хавьер; Нильсен, Могенс (1995) [1994]. «Проблемы разрешимости сетей Петри - обзор» . Бюллетень EATCS (Перераб. Ред.) . Проверено 14 мая 2014 .
^ Липтон, Р. (1976). «Проблема достижимости требует экспоненциального пространства» . Технический отчет 62 .
^ Кунгас, P. (июль 26-29, 2005). Проверка достижимости сети Петри является полиномиальной с оптимальными иерархиями абстракции . Труды 6-го Международного симпозиума по абстракции, переформулировке и приближению - SARA 2005. Замок Эйрт, Шотландия, Великобритания. Архивировано из оригинала на 2012-02-09 . Проверено 10 июля 2008 .
^ Czerwinski, Wojciech; Ласота, Славомир; Лазич, Ранко; Леру, Жером; Мазовецкий, Филип (2018). «Проблема достижимости сетей Петри не элементарна (расширенная аннотация)». arXiv : 1809.07115 [ cs.FL ].
↑ Мурата, Тадао (апрель 1989 г.). «Сети Петри: свойства, анализ и приложения» . Труды IEEE . 77 (4): 541–558. DOI : 10.1109 / 5.24143 . Проверено 13 октября 2014 .
^ "Сети Петри" . www.techfak.uni-bielefeld.de .
^ a b Кучера, Эрик; Хаффнер, Ото; Драгош, Питер; Циганек, Ян; Лесковский, Роман; Штефанович, Юрай (январь 2020 г.). «Новый программный инструмент для моделирования и управления дискретно-событийными и гибридными системами с использованием сетей Петри с временной интерпретацией» . Прикладные науки . 10 (15): 5027. DOI : 10,3390 / app10155027 .
^ а б Давид, Рене; Алла, Хассане (2005). Дискретные, непрерывные и гибридные сети Петри . Springer. ISBN 978-3-540-22480-8.
^ Дженсен, Курт (1997). «Краткое введение в цветные сети Петри» (PDF) . Краткое введение в цветные сети Петри . Конспект лекций по информатике. 1217 . С. 203–208. DOI : 10.1007 / BFb0035389 . ISBN 978-3-540-62790-6.
^ Араки, Т .; Касами, Т. (1977). «Некоторые проблемы решения, связанные с проблемой достижимости сетей Петри». Теоретическая информатика . 3 (1): 85–104. DOI : 10.1016 / 0304-3975 (76) 90067-0 .
^ Dufourd, C .; Финкель, А .; Schnoebelen, Ph. (1998). «Сбросить сети между разрешимостью и неразрешимостью». Материалы 25-го Международного коллоквиума по автоматам, языкам и программированию . LNCS . 1443 . С. 103–115.
^ Зайцев, Д.А. (2013). «К минимальной универсальной сети Петри». IEEE Transactions по системам, человеку и кибернетике: системы . 44 : 47–58. DOI : 10.1109 / TSMC.2012.2237549 . S2CID 6561556 .
^ "Очень краткое введение в CP-сети" . Департамент компьютерных наук, Орхусский университет, Дания.
^ "LLPN - сети Петри с линейной логикой" . Архивировано из оригинала на 2005-11-03 . Проверено 6 января 2006 .
^ Дэвис, EP; Давис, JF; Ку, Вей-Пин (2001). Архитектура компьютерных систем с использованием дуалистических сетей Петри . 2001 Международная конференция IEEE по системам, человеку и кибернетике. 3 . С. 1554–1558.
^ Dawis, ЕР (2001). Архитектура стека протоколов SS7 на платформе широкополосного коммутатора с использованием дуалистических сетей Петри . 2001 Конференция IEEE Pacific Rim по связи, компьютерам и обработке сигналов. 1 . С. 323–326.
^ а б в ван дер Аалст, WMP (1998). «Применение сетей Петри для управления рабочим процессом» (PDF) . Журнал схем, систем и компьютеров . 8 (1): 21–66. CiteSeerX 10.1.1.30.3125 . DOI : 10.1142 / s0218126698000043 .
^ Ван Хи, К .; Сидорова, Н .; Вурхув, М. (2003). «Надежность и разделимость сетей рабочего процесса при пошаговом подходе уточнения» (PDF) . Ин ван дер Аалст, WMP; Бест, Э. (ред.). Применение и теория сетей Петри 2003 . Lect Notes in Comput Sci. 2678 . Springer. С. 337–356.
^ а б Пинг, л .; Hao, H .; Цзянь, Л. (2004). Молдт, Дэниел (ред.). О надежности и надежности сетей документооборота . Материалы 3-го семинара по моделированию объектов, компонентов и агентов. 571 . Орхус, Дания: DAIMI PB. С. 21–36.
^ Мазуркевич, Антони (1995). «Введение в теорию следов». In Diekert, V .; Розенберг, Г. (ред.). Книга следов . Сингапур: World Scientific. С. 3–67.
^ Винскель, G .; Нильсен, М. "Модели для параллелизма" (PDF) . Справочник по логике и основам информатики . 4 . ОУП. С. 1–148. Архивировано из оригинального (PDF) 04.05.2020.
^ Scheuring, Райнер; Велан, Герберт «Ганс» (1991-12-01) [июль 1991]. Бреттауэр, Георг (ред.). "Der Boolesche Differentialkalkül - eine Methode zur Analyze und Synthese von Petri-Netzen" [Булево дифференциальное исчисление - метод анализа и синтеза сетей Петри]. At - Automatisierungstechnik - Methoden und Anwendungen der Steuerungs-, Regelungs- und Informationstechnik (на немецком языке). Штутгарт, Германия: R. Oldenbourg Verlag [ de ] . 39 (7): 226–233. DOI : 10,1524 / auto.1991.39.112.226 . ISSN 0178-2312 . S2CID 56766796 . В архиве из оригинала от 16.10.2017 . Проверено 16 октября 2017 . (8 страниц)
^ a b van der Aalst, WMP; Шталь, К. Моделирование бизнес-процессов - подход, ориентированный на сеть Петри . MIT Press. С. 1–400.
↑ van der Aalst, WMP (2018). "Управление бизнес-процессами". Энциклопедия систем баз данных, второе издание . Springer. С. 370–374. DOI : 10.1007 / 978-1-4614-8265-9_1179 . ISBN 978-1-4614-8266-6.
^ Favrin, Bean (2014-09-02). «ESYN: построение сетей, совместное использование и публикация» . PLOS ONE . 9 (9): e106035. Bibcode : 2014PLoSO ... 9j6035B . DOI : 10.1371 / journal.pone.0106035 . PMC 4152123 . PMID 25181461 .
^ Кох, Ина; Рейзиг, Вольфганг; Шрайбер, Фальк (2011). Моделирование в системной биологии - подход сети Петри . Вычислительная биология. 16 . Springer. DOI : 10.1007 / 978-1-84996-474-6 . ISBN 978-1-84996-473-9.
^ Кристенсен, LM; Вестергаард, М. (2010). Автоматическая генерация кода на основе структуры из разноцветных сетей Петри: подтверждение концепции . Формальные методы для промышленных критических систем - 15-й международный семинар, FMICS 2010. Конспект лекций по информатике. 6371 . С. 215–230. DOI : 10.1007 / 978-3-642-15898-8_14 .
^ Гао, X .; Ху, Синьян (2020). "Надежное управление нейронной сетью Петри для новой модели процесса обратной засыпки вставкой" . Доступ IEEE . 8 : 18420–18425. DOI : 10,1109 / ACCESS.2020.2968510 . S2CID 210994447 .
^ Кучера, Эрик; Хаффнер, Ото; Драгош, Питер; Лесковский, Роман; Циганек, Ян (январь 2020 г.). "PetriNet Editor + PetriNet Engine: новый программный инструмент для моделирования и управления дискретными системами событий с использованием сетей Петри и генерации кода" . Прикладные науки . 10 (21): 7662. DOI : 10,3390 / app10217662 .
↑ van der Aalst, WMP (2016). Process Mining - Data Science in Action, Second Edition . Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-662-49851-4 . ISBN 978-3-662-49850-7. S2CID 12806779 .
^ Кармона, Дж .; ван Донген, Б.Ф .; Solti, A .; Вайдлих, М. (2018). Проверка соответствия - процессы и модели . Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-319-99414-7 . ISBN 978-3-319-99413-0. S2CID 53250018 .
^ Фернандес, JL; Sanz, R .; Paz, E .; Алонсо, К. (19–23 мая 2008 г.). «Использование иерархических двоичных сетей Петри для создания надежных приложений для мобильных роботов: RoboGraph». IEEE Международная конференция по робототехнике и автоматизации, 2008 . Пасадена, Калифорния, США. С. 1372–1377. DOI : 10.1109 / ROBOT.2008.4543394 .
^ Мендес, Дж. Марко; Лейтао, Паулу; Коломбо, Армандо В .; Рестиво, Франциско (2012). «Сети Петри высокого уровня для описания и контроля процессов в сервис-ориентированных производственных системах» . Международный журнал производственных исследований . Тейлор и Фрэнсис. 50 (6): 1650–1665. DOI : 10.1080 / 00207543.2011.575892 . S2CID 39688855 .
^ Fahland, D .; Гирдс, К. (2013). Анализ и завершение проектов промежуточного программного обеспечения для корпоративной интеграции с использованием цветных сетей Петри . Передовая инженерия информационных систем - 25-я Международная конференция CAiSE 2013. Конспект лекций по информатике. 7908 . С. 400–416. DOI : 10.1007 / 978-3-642-38709-8_26 .
^ Клемпнер, Хулио (2006). «Моделирование игр кратчайшего пути с помощью сетей Петри: теория, основанная на Ляпунове» . Международный журнал прикладной математики и информатики . 16 (3): 387–397. ISSN 1641-876X .
^ Бернардески, C .; De Francesco, N .; Ваглини, Г. (1995). «Семантика сетей Петри для сетей с потоками данных» . Acta Informatica . 32 (4): 347–374. DOI : 10.1007 / BF01178383 . S2CID 7285573 .
^ ван дер Аалст, Wil MP; Шталь, Кристиан; Вестергаард, Майкл (2013). «Стратегии моделирования сложных процессов с использованием раскрашенных сетей Петри» . Пер. Сети Петри Другая модель. Concurr . Конспект лекций по информатике. 7 : 6–55. DOI : 10.1007 / 978-3-642-38143-0_2 . ISBN 978-3-642-38142-3.
↑ a b van der Aalst, WMP (2018). «Шаблоны рабочего процесса». Энциклопедия систем баз данных, второе издание . Springer. С. 4717–4718. DOI : 10.1007 / 978-1-4614-8265-9_826 . ISBN 978-1-4614-8266-6.
↑ a b van der Aalst, WMP (2018). «Анализ модели рабочего процесса». Энциклопедия систем баз данных, второе издание . Springer. С. 4716–4717. DOI : 10.1007 / 978-1-4614-8265-9_1476 . ISBN 978-1-4614-8266-6.
^ тер Хофстеде, Артур HM; ван дер Аалст, член парламента Виль; Адамс, Майкл; Рассел, Ник (2010). Hofstede, Arthur H.M; Aalst, Wil M.P; Адамс, Майкл; Рассел, Ник (ред.). Современная автоматизация бизнес-процессов - YAWL и среда его поддержки . DOI : 10.1007 / 978-3-642-03121-2 . ISBN 978-3-642-03122-9.

Дальнейшее чтение [ править ]

Кардозу, Джанетт; Камарго, Элоиза (1999). Нечеткость в сетях Петри . Physica-Verlag. ISBN 978-3-7908-1158-2.
Гробельна, Ивона (2011). «Формальная проверка спецификации встроенного логического контроллера с компьютерной дедукцией во временной логике». Przeglad Elektrotechniczny . 87 (12a): 47–50.
Дженсен, Курт (1997). Цветные сети Петри . Springer Verlag. ISBN 978-3-540-62867-5.
Патарича, Андраш (2004). Formális módszerek az informatikában (Формальные методы в информатике) . TYPOTEX Kiadó. ISBN 978-963-9548-08-4.
Петерсон, Джеймс Л. (1977). «Сети Петри». ACM Computing Surveys . 9 (3): 223–252. DOI : 10.1145 / 356698.356702 . hdl : 10338.dmlcz / 135597 . S2CID 3605804 .
Петерсон, Джеймс Лайл (1981). Теория сетей Петри и моделирование систем . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-661983-3.
Петри, Карл А. (1962). Коммуникация с автоматами (кандидатская диссертация). Боннский университет.
Петри, Карл Адам; Рейзиг, Вольфганг (2008). «Сеть Петри» . Scholarpedia . 3 (4): 6477. Bibcode : 2008SchpJ ... 3.6477P . DOI : 10,4249 / scholarpedia.6477 .
Рейзиг, Вольфганг (1992). Учебник по дизайну сетей Петри . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-52044-3.
Риман, Роберт-Кристоф (1999). Моделирование параллельных систем: структурные и семантические методы в исчислении сети Петри высокого уровня . Герберт Утц Верлаг. ISBN 978-3-89675-629-9.
Стёррле, Харальд (2000). Модели архитектуры программного обеспечения - проектирование и анализ с помощью UML и сетей Петри . Книги по запросу. ISBN 978-3-8311-1330-9.
Чжоу, Мэнчу ; Dicesare, Франк (1993). Синтез сетей Петри для дискретного управления производственными системами . Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-0-7923-9289-7.
Чжоу, Мэнчу ; Венкатеш, Курапати (1998). Моделирование, имитация и управление гибкими производственными системами: подход сети Петри . Мировое научное издательство. ISBN 978-981-02-3029-6.
Зайцев, Дмитрий (2013). Кланы сетей Петри: проверка протоколов и оценка производительности сетей . LAP LAMBERT Academic Publishing. ISBN 978-3-659-42228-7.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме сетей Петри .

Мир сетей Петри
Язык разметки сети Петри
Реализация сетей Петри на Java в библиотеке jBPT (см. Модуль jbpt-petri)
Симулятор сети Петри на Java
Введение в технологию рабочего процесса с сетями Петри на основе Flash от Пети Вохеда
Список инструментов сети Петри

[1] Петри, Карл Адам; Рейзиг, Вольфганг (2008). «Сеть Петри» . Scholarpedia . 3 (4): 6477. Bibcode : 2008SchpJ ... 3.6477P . DOI : 10,4249 / scholarpedia.6477 .

[2] Розенбург, G .; Энгельфриет Дж. (1998). «Элементарные сетевые системы». In Reisig, W .; Розенберг, Г. (ред.). Лекции о сетях Петри I. Основные модели - достижения в сетях Петри . Конспект лекций по информатике. 1491 . Springer. С. 12–121.

[3] Рейсиг, Вольфганг (1991). «Сети Петри и алгебраические спецификации». Теоретическая информатика . 80 (1): 1–34. DOI : 10.1016 / 0304-3975 (91) 90203-e .

[4] Дезель, Йорг; Юхас, Габриэль (2001). «Что такое сеть Петри? Неформальные ответы для информированного читателя». В Эриге, Хартмут; и другие. (ред.). Объединение сетей Петри . LNCS. 2128 . Springer. С. 1–25. DOI : 10.1007 / 3-540-45541-8_1 . ISBN 9783540430674.

[5] Эспарса, Хавьер; Нильсен, Могенс (1995) [1994]. «Проблемы разрешимости сетей Петри - обзор» . Бюллетень EATCS (Перераб. Ред.) . Проверено 14 мая 2014 .

[6] Липтон, Р. (1976). «Проблема достижимости требует экспоненциального пространства» . Технический отчет 62 .

[7] Кунгас, P. (июль 26-29, 2005). Проверка достижимости сети Петри является полиномиальной с оптимальными иерархиями абстракции . Труды 6-го Международного симпозиума по абстракции, переформулировке и приближению - SARA 2005. Замок Эйрт, Шотландия, Великобритания. Архивировано из оригинала на 2012-02-09 . Проверено 10 июля 2008 .

[8] Czerwinski, Wojciech; Ласота, Славомир; Лазич, Ранко; Леру, Жером; Мазовецкий, Филип (2018). «Проблема достижимости сетей Петри не элементарна (расширенная аннотация)». arXiv : 1809.07115 [ cs.FL ].

[9] Мурата, Тадао (апрель 1989 г.). «Сети Петри: свойства, анализ и приложения» . Труды IEEE . 77 (4): 541–558. DOI : 10.1109 / 5.24143 . Проверено 13 октября 2014 .

[10] "Сети Петри" . www.techfak.uni-bielefeld.de .

[:0-11] Кучера, Эрик; Хаффнер, Ото; Драгош, Питер; Циганек, Ян; Лесковский, Роман; Штефанович, Юрай (январь 2020 г.). «Новый программный инструмент для моделирования и управления дискретно-событийными и гибридными системами с использованием сетей Петри с временной интерпретацией» . Прикладные науки . 10 (15): 5027. DOI : 10,3390 / app10155027 .

[DavidAlla2005-12] а б Давид, Рене; Алла, Хассане (2005). Дискретные, непрерывные и гибридные сети Петри . Springer. ISBN 978-3-540-22480-8.

[13] Дженсен, Курт (1997). «Краткое введение в цветные сети Петри» (PDF) . Краткое введение в цветные сети Петри . Конспект лекций по информатике. 1217 . С. 203–208. DOI : 10.1007 / BFb0035389 . ISBN 978-3-540-62790-6.

[14] Араки, Т .; Касами, Т. (1977). «Некоторые проблемы решения, связанные с проблемой достижимости сетей Петри». Теоретическая информатика . 3 (1): 85–104. DOI : 10.1016 / 0304-3975 (76) 90067-0 .

[15] Dufourd, C .; Финкель, А .; Schnoebelen, Ph. (1998). «Сбросить сети между разрешимостью и неразрешимостью». Материалы 25-го Международного коллоквиума по автоматам, языкам и программированию . LNCS . 1443 . С. 103–115.

[16] Зайцев, Д.А. (2013). «К минимальной универсальной сети Петри». IEEE Transactions по системам, человеку и кибернетике: системы . 44 : 47–58. DOI : 10.1109 / TSMC.2012.2237549 . S2CID 6561556 .

[17] "Очень краткое введение в CP-сети" . Департамент компьютерных наук, Орхусский университет, Дания.

[18] "LLPN - сети Петри с линейной логикой" . Архивировано из оригинала на 2005-11-03 . Проверено 6 января 2006 .

[19] Дэвис, EP; Давис, JF; Ку, Вей-Пин (2001). Архитектура компьютерных систем с использованием дуалистических сетей Петри . 2001 Международная конференция IEEE по системам, человеку и кибернетике. 3 . С. 1554–1558.

[20] Dawis, ЕР (2001). Архитектура стека протоколов SS7 на платформе широкополосного коммутатора с использованием дуалистических сетей Петри . 2001 Конференция IEEE Pacific Rim по связи, компьютерам и обработке сигналов. 1 . С. 323–326.

[Aalst,1998-21] а б в ван дер Аалст, WMP (1998). «Применение сетей Петри для управления рабочим процессом» (PDF) . Журнал схем, систем и компьютеров . 8 (1): 21–66. CiteSeerX 10.1.1.30.3125 . DOI : 10.1142 / s0218126698000043 .

[Hee_et_al.,_2003-22] Ван Хи, К .; Сидорова, Н .; Вурхув, М. (2003). «Надежность и разделимость сетей рабочего процесса при пошаговом подходе уточнения» (PDF) . Ин ван дер Аалст, WMP; Бест, Э. (ред.). Применение и теория сетей Петри 2003 . Lect Notes in Comput Sci. 2678 . Springer. С. 337–356.

[Ping_et_al.,_2004-23] а б Пинг, л .; Hao, H .; Цзянь, Л. (2004). Молдт, Дэниел (ред.). О надежности и надежности сетей документооборота . Материалы 3-го семинара по моделированию объектов, компонентов и агентов. 571 . Орхус, Дания: DAIMI PB. С. 21–36.

[24] Мазуркевич, Антони (1995). «Введение в теорию следов». In Diekert, V .; Розенберг, Г. (ред.). Книга следов . Сингапур: World Scientific. С. 3–67.

[25] Винскель, G .; Нильсен, М. "Модели для параллелизма" (PDF) . Справочник по логике и основам информатики . 4 . ОУП. С. 1–148. Архивировано из оригинального (PDF) 04.05.2020.

[Scheuring_Wehlan_1991_Petri-26] Scheuring, Райнер; Велан, Герберт «Ганс» (1991-12-01) [июль 1991]. Бреттауэр, Георг (ред.). "Der Boolesche Differentialkalkül - eine Methode zur Analyze und Synthese von Petri-Netzen" [Булево дифференциальное исчисление - метод анализа и синтеза сетей Петри]. At - Automatisierungstechnik - Methoden und Anwendungen der Steuerungs-, Regelungs- und Informationstechnik (на немецком языке). Штутгарт, Германия: R. Oldenbourg Verlag [ de ] . 39 (7): 226–233. DOI : 10,1524 / auto.1991.39.112.226 . ISSN 0178-2312 . S2CID 56766796 . В архиве из оригинала от 16.10.2017 . Проверено 16 октября 2017 . (8 страниц)

[AalstStahl2011-27] van der Aalst, WMP; Шталь, К. Моделирование бизнес-процессов - подход, ориентированный на сеть Петри . MIT Press. С. 1–400.

[AalstBPM2018-28] van der Aalst, WMP (2018). "Управление бизнес-процессами". Энциклопедия систем баз данных, второе издание . Springer. С. 370–374. DOI : 10.1007 / 978-1-4614-8265-9_1179 . ISBN 978-1-4614-8266-6.

[Bean_2014-29] Favrin, Bean (2014-09-02). «ESYN: построение сетей, совместное использование и публикация» . PLOS ONE . 9 (9): e106035. Bibcode : 2014PLoSO ... 9j6035B . DOI : 10.1371 / journal.pone.0106035 . PMC 4152123 . PMID 25181461 .

[30] Кох, Ина; Рейзиг, Вольфганг; Шрайбер, Фальк (2011). Моделирование в системной биологии - подход сети Петри . Вычислительная биология. 16 . Springer. DOI : 10.1007 / 978-1-84996-474-6 . ISBN 978-1-84996-473-9.

[31] Кристенсен, LM; Вестергаард, М. (2010). Автоматическая генерация кода на основе структуры из разноцветных сетей Петри: подтверждение концепции . Формальные методы для промышленных критических систем - 15-й международный семинар, FMICS 2010. Конспект лекций по информатике. 6371 . С. 215–230. DOI : 10.1007 / 978-3-642-15898-8_14 .

[32] Гао, X .; Ху, Синьян (2020). "Надежное управление нейронной сетью Петри для новой модели процесса обратной засыпки вставкой" . Доступ IEEE . 8 : 18420–18425. DOI : 10,1109 / ACCESS.2020.2968510 . S2CID 210994447 .

[33] Кучера, Эрик; Хаффнер, Ото; Драгош, Питер; Лесковский, Роман; Циганек, Ян (январь 2020 г.). "PetriNet Editor + PetriNet Engine: новый программный инструмент для моделирования и управления дискретными системами событий с использованием сетей Петри и генерации кода" . Прикладные науки . 10 (21): 7662. DOI : 10,3390 / app10217662 .

[34] van der Aalst, WMP (2016). Process Mining - Data Science in Action, Second Edition . Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-662-49851-4 . ISBN 978-3-662-49850-7. S2CID 12806779 .

[35] Кармона, Дж .; ван Донген, Б.Ф .; Solti, A .; Вайдлих, М. (2018). Проверка соответствия - процессы и модели . Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-319-99414-7 . ISBN 978-3-319-99413-0. S2CID 53250018 .

[36] Фернандес, JL; Sanz, R .; Paz, E .; Алонсо, К. (19–23 мая 2008 г.). «Использование иерархических двоичных сетей Петри для создания надежных приложений для мобильных роботов: RoboGraph». IEEE Международная конференция по робототехнике и автоматизации, 2008 . Пасадена, Калифорния, США. С. 1372–1377. DOI : 10.1109 / ROBOT.2008.4543394 .

[37] Мендес, Дж. Марко; Лейтао, Паулу; Коломбо, Армандо В .; Рестиво, Франциско (2012). «Сети Петри высокого уровня для описания и контроля процессов в сервис-ориентированных производственных системах» . Международный журнал производственных исследований . Тейлор и Фрэнсис. 50 (6): 1650–1665. DOI : 10.1080 / 00207543.2011.575892 . S2CID 39688855 .

[38] Fahland, D .; Гирдс, К. (2013). Анализ и завершение проектов промежуточного программного обеспечения для корпоративной интеграции с использованием цветных сетей Петри . Передовая инженерия информационных систем - 25-я Международная конференция CAiSE 2013. Конспект лекций по информатике. 7908 . С. 400–416. DOI : 10.1007 / 978-3-642-38709-8_26 .

[39] Клемпнер, Хулио (2006). «Моделирование игр кратчайшего пути с помощью сетей Петри: теория, основанная на Ляпунове» . Международный журнал прикладной математики и информатики . 16 (3): 387–397. ISSN 1641-876X .

[40] Бернардески, C .; De Francesco, N .; Ваглини, Г. (1995). «Семантика сетей Петри для сетей с потоками данных» . Acta Informatica . 32 (4): 347–374. DOI : 10.1007 / BF01178383 . S2CID 7285573 .

[41] ван дер Аалст, Wil MP; Шталь, Кристиан; Вестергаард, Майкл (2013). «Стратегии моделирования сложных процессов с использованием раскрашенных сетей Петри» . Пер. Сети Петри Другая модель. Concurr . Конспект лекций по информатике. 7 : 6–55. DOI : 10.1007 / 978-3-642-38143-0_2 . ISBN 978-3-642-38142-3.

[AalstWFpattern2018-42] van der Aalst, WMP (2018). «Шаблоны рабочего процесса». Энциклопедия систем баз данных, второе издание . Springer. С. 4717–4718. DOI : 10.1007 / 978-1-4614-8265-9_826 . ISBN 978-1-4614-8266-6.

[AalstWFanalysis2018-43] van der Aalst, WMP (2018). «Анализ модели рабочего процесса». Энциклопедия систем баз данных, второе издание . Springer. С. 4716–4717. DOI : 10.1007 / 978-1-4614-8265-9_1476 . ISBN 978-1-4614-8266-6.

[44] тер Хофстеде, Артур HM; ван дер Аалст, член парламента Виль; Адамс, Майкл; Рассел, Ник (2010). Hofstede, Arthur H.M; Aalst, Wil M.P; Адамс, Майкл; Рассел, Ник (ред.). Современная автоматизация бизнес-процессов - YAWL и среда его поддержки . DOI : 10.1007 / 978-3-642-03121-2 . ISBN 978-3-642-03122-9.

[1]