Определенная квадратичная форма
В математике определенная квадратичная форма — это квадратичная форма над некоторым вещественным векторным пространством V , которая имеет один и тот же знак (всегда положительный или всегда отрицательный) для каждого ненулевого вектора V. В соответствии с этим знаком квадратичная форма называется положительно-определенной или отрицательно-определенной .
Полуопределенная (или полуопределенная) квадратичная форма определяется почти таким же образом, за исключением того, что «всегда положительная» и «всегда отрицательная» заменяются на «никогда не отрицательная» и «никогда не положительная» соответственно . Другими словами, он может принимать нулевые значения для некоторых ненулевых векторов V .
Неопределенная квадратичная форма принимает как положительные , так и отрицательные значения и называется изотропной квадратичной формой .
Квадратичные формы взаимно однозначно соответствуют симметричным билинейным формам в том же пространстве. [2] Симметричная билинейная форма также описывается как определенная , полуопределенная и т. д. в соответствии с связанной с ней квадратичной формой. Квадратичная форма Q и связанная с ней симметричная билинейная форма B связаны следующими уравнениями:
Последняя формула возникает в результате расширения
В качестве примера пусть , и рассмотрим квадратичную форму
