Правильная ортогональная декомпозиция - это численный метод, обычно применяемый в области моделирования конечных элементов .
Это позволяет упростить моделирование с интенсивными вычислениями, такое как вычислительная гидродинамика и структурный анализ (например, моделирование сбоев ). Обычно в гидродинамике и анализе турбулентности он используется для замены уравнений Навье-Стокса более простыми моделями для решения. [1]
Он принадлежит к классу алгоритмов, называемых Модельным Уменьшением Порядка (или сокращенно Модельным Уменьшением). По сути, он обучает модель на основе данных моделирования. В этом смысле это может быть связано с областью машинного обучения .
POD и PCA
Основное применение POD - разложение физического поля (например, давления, температуры в динамике жидкости или напряжения и деформации в структурном анализе) в зависимости от различных переменных, которые влияют на его физическое поведение. Как следует из названия, он выполняет ортогональную декомпозицию вместе с основными компонентами поля. Таким образом, он уподобляется анализу главных компонентов Пирсона в области статистики или разложению по сингулярным значениям в линейной алгебре, поскольку он относится к собственным значениям и собственным векторам физического поля. В этих областях он связан с исследованиями Карунена [2] и Лоэва, [3] и их теоремой Карунена – Лоэва .
Математическое выражение
Первая идея Правильного Ортогонального Разложения (POD), как это было первоначально сформулировано в области гидродинамики для анализа турбулентностей, состоит в том, чтобы разложить случайное векторное поле u (x, t) на набор детерминированных пространственных функций Φ k ( x) модулируется случайными временными коэффициентами a k (t) так, чтобы:
Первым шагом является выборка векторного поля в течение определенного периода времени в так называемых снимках (как показано на изображении снимков POD). Этот метод моментальных снимков [4] усредняет выборки по пространственному измерению n и коррелирует их друг с другом по временным выборкам p :
с n пространственными элементами и p временных отсчетов
Следующим шагом является вычисление ковариационной матрицы C
Затем мы вычисляем собственные значения и собственные векторы C и упорядочиваем их от наибольшего собственного значения к наименьшему.
Мы получаем n собственных значений λ1 ... λn и набор из n собственных векторов, расположенных в виде столбцов в матрице Φ размера n × n:
Курсы на POD
- MIT: http://web.mit.edu/6.242/www/images/lec6_6242_2004.pdf
- Стэнфордский университет - Чарбель Фархат и Дэвид Амсаллем https://web.stanford.edu/group/frg/course_work/CME345/CA-CME345-Ch4.pdf
- Вайс, Жюльен: Учебник по правильному ортогональному разложению. В: Авиационный форум AIAA 2019. 17–21 июня 2019 г., Даллас, Техас, США.
- Курс французского от CNRS https://www.math.u-bordeaux.fr/~mbergman/PDF/OuvrageSynthese/OCET06.pdf
- Применение метода правильного ортогонального разложения http://www.cerfacs.fr/~cfdbib/repository/WN_CFD_07_97.pdf
Рекомендации
- ^ Berkooz, G; Холмс, П; Ламли, Дж. Л. (январь 1993 г.). «Правильное ортогональное разложение при анализе турбулентных течений» . Ежегодный обзор гидромеханики . 25 (1): 539–575. DOI : 10.1146 / annurev.fl.25.010193.002543 . ISSN 0066-4189 .
- ^ Карунен, Кари (1946). Zur Spectral Theorie Stochasticher Prozesse .
- ^ Дэвид, FN; Лоэв, М. (декабрь 1955 г.). «Теория вероятностей» . Биометрика . 42 (3/4): 540. DOI : 10,2307 / 2333409 . ISSN 0006-3444 .
- ^ Сирович, Лоуренс (1987-10-01). «Турбулентность и динамика когерентных структур. I. Когерентные структуры» . Квартал прикладной математики . 45 (3): 561–571. DOI : 10.1090 / QAM / 910462 . ISSN 0033-569X .