Квази-Монте-Карло методы в финансах

В финансах часто встречаются многомерные интегралы от сотен или тысяч переменных. Эти интегралы необходимо вычислять численно с точностью до порога . Если интеграл имеет размерность, то в худшем случае, когда есть гарантия не более чем на ошибку , вычислительная сложность обычно порядка . То есть проблема страдает проклятием размерности . В 1977 г. П. Бойль из Университета Ватерлоо предложил использовать метод Монте-Карло (MC) для оценки вариантов. ^[1] С начала 1992 г. Дж. Ф. Трауб , Колумбийский университет, и тогдашний аспирант С. Пасков использовали квази-Монте-Карло (QMC) для определения цены${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle d}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon ^{-d}}$Обеспеченное ипотечное обязательство с параметрами, указанными Goldman Sachs. Хотя ведущие мировые эксперты считали, что QMC не следует использовать для многомерной интеграции, Пасков и Трауб обнаружили, что QMC превосходит MC на один-три порядка, а также обладает другими желательными характеристиками. Их результаты были впервые опубликованы ^[2] в 1995 году. Сегодня QMC широко используется в финансовом секторе для оценки производных финансовых инструментов; см. список книг ниже .

QMC - не панацея от всех многомерных интегралов. Был предложен ряд объяснений того, почему QMC так хорош для финансовых деривативов. Это продолжает оставаться очень плодотворной областью исследований.

Методы Монте-Карло и квази-Монте-Карло [ править ]

Интегралы от сотен или тысяч переменных широко используются в вычислительных финансах . Они должны быть округлены численно с точностью до порога ошибки . Хорошо известно, что если требуется гарантия погрешности не более чем в худшем случае, то вычислительная сложность интегрирования может быть экспоненциальной по размерности подынтегральной функции; См. ^[3] гл. 3 для подробностей. Чтобы разрушить это проклятие размерности, можно использовать метод Монте-Карло (МК), определенный формулой${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle d}$

${\displaystyle \varphi ^{\mathop {\rm {MC}} }(f)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}),}$

где точки оценки выбираются случайным образом. Хорошо известно, что ожидаемая ошибка Монте-Карло вполне закономерна . Таким образом, стоимость алгоритма, в котором есть ошибка , позволяет преодолеть проклятие размерности.${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle n^{-1/2}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon ^{-2}}$

Конечно, в вычислительной практике используются псевдослучайные точки. На рисунке 1 показано распределение 500 псевдослучайных точек на единичном квадрате.

Рисунок 1. 500 псевдослучайных точек.

Обратите внимание, что есть регионы, где нет точек, и другие регионы, где есть группы точек. Было бы желательно отбирать подынтегральное выражение в равномерно распределенных точках. Прямоугольная сетка была бы однородной, но даже если бы в каждом декартовом направлении было только 2 точки сетки, точки были бы . Таким образом, желаемое должно состоять из как можно меньшего числа точек, выбранных как можно более единообразными.${\displaystyle 2^{d}}$

Оказывается, есть хорошо разработанная часть теории чисел, которая занимается именно этим желанием. Несоответствие - это мера отклонения от единообразия, поэтому нам нужны последовательности с низким несоответствием (LDS). ^[4] Многие СПД были созданы в честь их изобретателей, например

• Halton
• Hammersley
• Соболь
• Фор
• Niederreiter

На Рисунке 2 показано распределение 500 точек СПД.

Рис. 2. 500 точек с низким расхождением.

Квази-Монте-Карло (QMC) метод определяется следующим образом:

${\displaystyle \varphi ^{\mathop {\rm {QMC}} }(f)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}),}$

где принадлежат СПД. Стандартная терминология квази-Монте-Карло несколько неудачна, поскольку MC - это рандомизированный метод, тогда как QMC - чисто детерминированный.${\displaystyle x_{i}}$

Желательно равномерное распределение LDS. Но наихудшая ошибка QMC порядка

${\displaystyle {\frac {(\log n)^{d}}{n}},}$

где - количество точек выборки. См. ^[4] относительно теории LDS и ссылки на литературу. Скорость сходимости LDS можно сравнить с ожидаемой скоростью сходимости MC, которая есть . Для малых скорость сходимости QMC выше, чем для MC, но для больших это разрушительный фактор . Например, если , то даже при QMC ошибка пропорциональна . Таким образом, ведущие мировые эксперты широко считали, что QMC не следует использовать для многомерной интеграции. Например, в 1992 г. Брэтли, Фокс и Нидеррейтер ^[5] провели обширное тестирование некоторых математических задач. Они заключают "в проблемах большой размерности (скажем,${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{-1/2}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle (\log n)^{d}}$${\displaystyle d=360}$${\displaystyle \log n=2}$${\displaystyle 2^{360}}$${\displaystyle d>12}$), QMC, похоже, не предлагает практических преимуществ перед MC ". В 1993 году Ренсбург и Торри ^[6] сравнили QMC с MC для численной оценки многомерных интегралов, которые возникают при вычислении вириальных коэффициентов для жидкости твердых сфер. QMC более эффективен, чем MC, только если … Как мы увидим, тесты на 360-мерных интегралах, возникающих из обеспеченного ипотечного обязательства (CMO), приводят к совершенно разным выводам.${\displaystyle d<10}$

Статья Возняковского 1991 г. ^[7], показывающая связь между средней сложностью интеграции и QMC, привела к новому интересу к QMC. Результат Возняковского получил широкое освещение в научной прессе ^[8] . ^[9] В начале 1992 г. IT Vanderhoof, Нью-Йоркский университет, узнал о результатах Возняковского и передал коллеге Возняковского Дж. Ф. Траубу, Колумбийский университет, директор по маркетингу с параметрами, установленными Goldman Sachs. У этого ОКУ было 10 траншей, каждый из которых требовал вычисления 360-мерного интеграла. Трауб спросил доктора философии. студент, Спассимир Пасков, сравнить QMC с MC для CMO. В 1992 году Пасков создал программную систему FinDer и провел обширные испытания. К удивлению и первоначальному недоверию исследовательской группы Колумбийского университета, Пасков сообщил, что QMC всегда превосходил MC по многим параметрам. Подробности приведены ниже. Осенью 1993 и весной 1994 года Пасков и Трауб представили ряду фирм с Уолл-стрит предварительные результаты. Изначально фирмы скептически отнеслись к утверждению, что QMC превосходит MC в ценообразовании финансовых деривативов. Статья Трауба и Возняковски в журнале Scientific American в январе 1994 г. ^[9]обсудили теоретические вопросы и сообщили, что «предварительные результаты, полученные при тестировании определенных финансовых проблем, свидетельствуют о превосходстве детерминированных методов на практике». Осенью 1994 года Пасков написал отчет Колумбийского университета по компьютерным наукам, который появился в слегка измененном виде в 1997 году ^[10].

Осенью 1995 года Пасков и Трауб опубликовали статью в «Журнале управления портфелем». ^[2] Они сравнили MC и два метода QMC. В двух детерминированных методах использовались точки Соболя и Халтона. Поскольку более качественные LDS были созданы позже, сравнение последовательностей Соболя и Халтона проводиться не будет. Эксперименты позволили сделать следующие выводы относительно эффективности MC и QMC на 10 транше CMO:

• Методы QMC сходятся значительно быстрее, чем MC
• MC чувствителен к исходному посевному материалу
• Сходимость QMC более плавная, чем сходимость MC. Это упрощает автоматическое завершение для QMC.

Подводя итог, можно сказать, что QMC превосходит MC для CMO по точности, уровню достоверности и скорости.

За этой статьей последовали отчеты об испытаниях, проведенных рядом исследователей, которые также привели к выводу, что QMC превосходит MC в решении множества крупных финансовых проблем. Сюда входят статьи Кафлиша и Морокоффа (1996), ^[11] Джой, Бойл, Тан (1996), ^[12] Ниномия и Тезука (1996), ^[13] Папагеоргиу и Трауб (1996), ^[14] Экворт, Броди и Глассерман (1997), ^[15] Кучеренко и соавторы ^{[16] [17]}

Дальнейшее тестирование CMO ^[14] было проведено Анаргиросом Папагеоргиу, который разработал улучшенную версию программной системы FinDer. Новые результаты включают следующее:

• Небольшое количество точек выборки: для самого жесткого транша CMO QMC с использованием обобщенного Faure LDS, разработанного С. Тезука ^[18], обеспечивает точность всего в 170 точек. MC требует 2700 очков для той же точности. Важность этого состоит в том, что из-за того, что будущие процентные ставки и ставки досрочного погашения неизвестны, финансовые компании довольны точностью .${\displaystyle 10^{-2}}$${\displaystyle 10^{-2}}$
• Большое количество точек выборки: преимущество QMC перед MC еще больше усиливается по мере роста требований к размеру выборки и точности. В частности, QMC в 20-50 раз быстрее, чем MC с умеренными размерами выборки, и может быть до 1000 раз быстрее, чем MC ^[14], когда требуется высокая точность QMC.

В настоящее время наибольшее зарегистрированное измерение, по которому QMC превосходит MC, составляет 65536. ^[19] Программное обеспечение представляет собой генератор последовательности Соболя SobolSeq65536, который генерирует последовательности Соболя, удовлетворяющие свойству A для всех измерений и свойству A 'для смежных измерений. Генераторы SobolSeq превосходят все другие известные генераторы как по скорости, так и по точности ^[20]

Теоретические объяснения [ править ]

Результаты, представленные до сих пор в этой статье, являются эмпирическими. Был выдвинут ряд возможных теоретических объяснений. Это была очень обширная область исследований, которая привела к появлению новых мощных концепций, но однозначного ответа получить не удалось.

Возможное объяснение того, почему QMC хорош для финансов, заключается в следующем. Рассмотрим транш упомянутого ранее ОКУ. Интеграл дает ожидаемые будущие потоки денежных средств от корзины 30-летних ипотечных кредитов с интервалом в 360 месяцев. Из-за дисконтированной стоимости денег переменные, представляющие будущее, становятся все менее важными. В основополагающей статье И. Слоан и Х. Возняковски ^[21] представили идею весовых пространств. В этих пространствах зависимость от следующих друг за другом переменных может быть уменьшена с помощью весов. Если веса уменьшаются достаточно быстро, проклятие размерности снимается даже с гарантией наихудшего случая. Эта статья привела к большому количеству работ по разрешению интеграции и другим проблемам. ^[22] Проблема разрешима, когда ее сложность порядка${\displaystyle \epsilon ^{-p}}$и не зависит от размера.${\displaystyle p}$

С другой стороны, эффективная размерность была предложена Кафлишем, Морокоффом и Оуэном ^[23] как индикатор сложности многомерного интегрирования. Цель состояла в том, чтобы объяснить выдающийся успех квази-Монте-Карло (КМК) в приближении интегралов очень высокой размерности в финансах. Они утверждали, что подынтегральные выражения имеют низкую эффективную размерность, и поэтому QMC намного быстрее, чем Монте-Карло (MC). Влияние аргументов Caflisch et al. ^[23] был великолепен. В ряде работ рассматривается связь между ошибкой QMC и эффективной размерностью ^[24] . ^{[16] [17] [25]}

Известно, что QMC не работает для некоторых функций, имеющих высокую эффективную размерность. ^[5] Тем не менее, низкая эффективная размерность не является необходимым условием для того, чтобы QMC превзошла MC, и чтобы интегрирование высокой размерности было управляемым. В 2005 году Тезука ^[26] представил класс функций переменных, все с максимальной эффективной размерностью, равной . Для этих функций QMC очень быстр, поскольку его скорость сходимости порядка , где - количество вычислений функции.${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n^{-1}}$${\displaystyle n}$

Изотропные интегралы [ править ]

QMC также может превосходить MC и другие методы для изотропных задач, то есть задач, где все переменные одинаково важны. Например, Папагеоргиу и Трауб ^[27] сообщили о результатах тестирования проблем интеграции моделей, предложенных физиком Б.Д. Кейстером ^[28].

${\displaystyle \left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{d/2}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\cos(\|x\|)e^{-\|x\|^{2}}\,dx,}$

где обозначает евклидову норму и . Кейстер сообщает, что при использовании стандартного численного метода требовалось около 220 000 точек, чтобы получить относительную ошибку порядка . При расчете QMC с использованием обобщенной последовательности с низким расхождением Faure ^[18] (QMC-GF) для получения той же относительной ошибки использовалось только 500 точек. Тот же самый интеграл был протестирован для диапазона значений до . Его ошибка была${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle d=25}$${\displaystyle 10^{-2}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d=100}$

${\displaystyle c\cdot n^{-1},}$

${\displaystyle c<110}$, где - количество оценок . Это можно сравнить с методом МК, погрешность которого была пропорциональна .${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n^{-1/2}}$

Это эмпирические результаты. В теоретическом исследовании Папагеоргиу ^[29] доказал, что скорость сходимости QMC для класса -мерных изотропных интегралов, включающего определенный выше интеграл, имеет порядок${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\sqrt {\log n}}/n.}$

Это гарантия наихудшего случая по сравнению с ожидаемой скоростью сходимости Монте-Карло и показывает превосходство QMC для этого типа интеграла.${\displaystyle n^{-1/2}}$

В другом теоретическом исследовании Папагеоргиу ^[30] представил достаточные условия для быстрой сходимости КМК. Условия применяются к изотропным и неизотропным задачам и, в частности, к ряду задач в области вычислительных финансов. Он представил классы функций, в которых даже в худшем случае скорость сходимости QMC порядка

${\displaystyle n^{-1+p(\log n)^{-1/2}},}$

где - константа, зависящая от класса функций.${\displaystyle p\geq 0}$

Но это только достаточное условие, и он оставляет открытым главный вопрос, который мы поставим в следующем разделе.

Открытые вопросы [ править ]

1. Охарактеризуйте, для каких задач интеграции большой размерности QMC превосходит MC.
2. Охарактеризуйте типы финансовых инструментов, по которым QMC превосходит MC.

См. Также [ править ]

• Методы Монте-Карло в финансах
• Историческое моделирование (финансы)

Ресурсы [ править ]

Книги [ править ]

• Бруно Дюпире (1998). Монте-Карло: методологии и приложения для ценообразования и управления рисками . Риск. ISBN 1-899332-91-X.
• Пол Глассерман (2003). Методы Монте-Карло в финансовом инжиниринге . Springer-Verlag . ISBN 0-387-00451-3.
• Питер Джекель (2002). Методы Монте-Карло в финансах . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-49741-X.
• Дон Л. Маклиш (2005). Монте-Карло Моделирование и финансы . ISBN 0-471-67778-7.
• Кристиан П. Роберт, Джордж Казелла (2004). Статистические методы Монте-Карло . ISBN 0-387-21239-6.

Модели [ править ]

• Таблицы доступны для загрузки , профессор Марко Диас, PUC-Rio

Ссылки [ править ]