Маятник Рэлея-Лоренца (или маятник Лоренца ) представляет собой простой маятник , но подверженный медленно изменяющейся частоте из-за внешнего воздействия (частота изменяется путем изменения длины маятника), названный в честь лорда Рэлея и Хендрика Лоренца . [1] Эта проблема легла в основу концепции адиабатических инвариантов в механике. Из-за медленного изменения частоты показано, что отношение средней энергии к частоте постоянно.
История
Проблема маятника была впервые сформулирована лордом Рэлеем в 1902 году, хотя некоторые математические аспекты обсуждались ранее Леоном Лекорну в 1895 году. [2] [3] Не зная о работе Рэлея, на первой конференции Solvay в 1911 году Хендрик Лоренц предложил вопрос , Как ведет себя простой маятник, когда длина подвешивающей нити постепенно сокращается? , чтобы прояснить квантовую теорию того времени. На это Альберт Эйнштейн ответил на следующий день, сказав, что энергия и частота квантового маятника изменяются таким образом, что их соотношение остается постоянным, так что маятник находится в том же квантовом состоянии, что и исходное состояние. Эти две отдельные работы легли в основу концепции адиабатического инварианта , которая нашла приложения в различных областях и старой квантовой теории . В 1958 году Субраманян Чандрасекар заинтересовался этой проблемой и изучил ее, так что возник новый интерес к проблеме, который впоследствии был изучен многими другими исследователями, такими как Джон Эденсор Литтлвуд и др. [4] [5] [6]
Математическое описание
Уравнение простого гармонического движения с частотой для перемещения дан кем-то
Если частота постоянна, решение просто дается формулой . Но если разрешить частоту медленно меняться со временем, или, точнее, если характерный временной масштаб изменения частоты намного меньше периода колебания, т. е.
то можно показать, что
где - средняя энергия за колебание. Поскольку частота изменяется со временем из-за внешнего воздействия, сохранение энергии больше не выполняется, и энергия одного колебания не является постоянной. Во время колебания частота (хоть и медленно) изменяется, как и его энергия. Следовательно, чтобы описать систему, нужно определить среднюю энергию на единицу массы для данного потенциала следующим образом
где замкнутый интеграл означает, что он берется за полное колебание. При таком определении можно увидеть, что выполняется усреднение, взвешивая каждый элемент орбиты на долю времени, которое маятник проводит в этом элементе. Для простого гармонического осциллятора она сводится к
где амплитуда и частота теперь являются функциями времени.
Рекомендации
- ^ Стратт, JW, & Рэлея, В. (1902). О давлении вибраций. Философский журнал, 3, 338-346.
- ^ Lecornu, Л. (1895). Mémoire sur le pendule de longueur variable. Acta Mathematica, 19 (1), 201-249.
- Перейти ↑ Sánchez-Soto, LL, & Zoido, J. (2013). Вариации адиабатической инвариантности: маятник Лоренца. Американский журнал физики, 81 (1), 57-62.
- Перейти ↑ Chandrasekhar, S. (1958). Адиабатические инварианты в движениях заряженных частиц. в "Плазма в магнитном поле: симпозиум по магнитогидродинамике": RKM Landshoff (Ed.). Издательство Стэнфордского университета.
- Перейти ↑ Chandrasekhar, S. (1989). Адиабатические инварианты в движениях заряженных частиц. Избранные статьи, Том 4: Физика плазмы, гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость и приложения тензорно-вириальной теоремы, 4, 85.
- Перейти ↑ Littlewood, JE (1962). Задача о маятнике Лоренца (№ TSR339). ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЦЕНТР МАТЕМАТИКИ ВИСКОНСИНА.