Регенеративный процесс

Регенеративные процессы использовались для моделирования проблем в управлении запасами. Запасы на складе, таком как этот, уменьшаются в результате случайного процесса из-за продаж, пока не будут пополнены новым заказом. ^[1]

В прикладной вероятности , A рекуперативного процесс представляет собой класс случайного процесса со свойством , что некоторые части процесса можно рассматривать как статистически независимы друг от друга. ^[2] Это свойство может быть использовано при выводе теоретических свойств таких процессов.

История [ править ]

Регенеративные процессы были впервые определены Уолтером Л. Смитом в трудах Королевского общества А в 1955 году. ^{[3] [4]}

Определение [ править ]

Рекуперативный процесс является случайным процессом с временными точками , в которых, с вероятностной точки зрения, процесс перезапускается. ^[5] Эти временные точки могут сами определяться развитием процесса. Другими словами, процесс { X ( t ),  t  ≥ 0} является регенерирующим процессом, если существуют моменты времени 0 ≤  T ₀  <  T ₁  <  T ₂  <... такие, что процесс после T _k { X ( T _k  +  t ):  t  ≥ 0}

• имеет то же распределение, что и процесс после T ₀ { X ( T ₀  +  t ):  t  ≥ 0}
• не зависит от пре- T _k- процесса { X ( t ): 0 ≤  t  <  T _k }

для k  ≥ 1. ^[6] Интуитивно это означает, что регенеративный процесс можно разделить на iid- циклы. ^[7]

Когда T ₀  = 0, X ( t ) называется незамедлительным регенеративным процессом . Иначе процесс называется отложенным регенеративным процессом . ^[6]

Примеры [ править ]

• Процессы обновления являются регенеративными процессами, при этом T ₁ является первым обновлением. ^[5]
• Чередующиеся процессы обновления , когда система чередуется между состоянием "включено" и состоянием "выключено". ^[5]
• Рекуррентная цепь Маркова - это регенерирующий процесс, где T ₁ - время первого повторения. ^[5] Это включает цепи Харриса .
• Отраженное броуновское движение - это регенеративный процесс (где измеряется время, необходимое частицам, чтобы уйти и вернуться). ^[7]

Свойства [ править ]

• По теореме о возобновлении вознаграждения с вероятностью 1 ^[8]

${\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} {\ frac {1} {t}} \ int _ {0} ^ {t} X (s) ds = {\ frac {\ mathbb {E} [R ]} {\ mathbb {E} [\ tau]}}.}$

где - длина первого цикла, а - значение первого цикла.${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle R = \ int _ {0} ^ {\ tau} X (s) ds}$

• Измеримая функция регенеративного процесса является регенеративным процессом с тем же временем регенераций ^[8]

Ссылки [ править ]