Гребневая функция

В математике ридж-функция - это любая функция, которую можно записать как композицию одномерной функции с аффинным преобразованием , то есть: для некоторых и . Чеканка термина «функция гребня» часто приписывается Б.Ф. Логану и Л.А. Шеппу. ^[1]${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {d} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {x}}) = g ({\ boldsymbol {x}} \ cdot {\ boldsymbol {a}})}$${\ displaystyle g: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {a}} \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$

Актуальность

Ридж-функция не подвержена проклятию размерности , что делает ее важным инструментом в различных задачах оценки. Это прямой результат того факта, что ридж-функции постоянны в направлениях: Позвольте быть независимыми векторами, которые ортогональны , так что эти векторы охватывают измерения. потом ${\ displaystyle d-1}$${\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {d-1}}$${\ displaystyle d-1}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle d-1}$

${\displaystyle f\left({\boldsymbol {x}}+\sum _{k=1}^{d-1}c_{k}{\boldsymbol {a}}_{k}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {a}}+\sum _{k=1}^{d-1}c_{k}{\boldsymbol {a}}_{k}\cdot {\boldsymbol {a}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {a}}+\sum _{k=1}^{d-1}c_{k}0\right)=g({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {a}})=f({\boldsymbol {x}})}$

для всех . Другими словами, любое смещение в направлении, перпендикулярном к , не меняет значения .${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} ,1\leq i<d}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$${\displaystyle f}$

Ридж-функции играют важную роль, среди прочего, в поиске проекций , в обобщенных линейных моделях и как функции активации в нейронных сетях . Для обзора функций гребня см. ^[2]

использованная литература