Процедура с вращающимся ножом Робертсона – Уэбба - это процедура разрезания двумерного торта между тремя партнерами без всякой зависти . [1] : 77–78 Он делает только два разреза, поэтому каждый партнер получает одну соединенную фигуру.
Его главное преимущество перед более ранней процедурой с подвижными ножами Стромквиста и более поздней процедурой с подвижными ножами Барбанеля – Брамса состоит в том, что для нее требуется только один подвижный нож. Это преимущество использует двухмерный характер торта.
Процедура
Вначале каждый партнер делает вертикальный разрез так, чтобы торт слева от него стоил ему ровно 1/3. Выбирается крайний левый разрез. Предположим, этот разрез принадлежит Алисе. Таким образом, Алиса получает крайнюю левую фигуру, и ее ценность составляет ровно 1/3. Остаток нужно разделить между оставшимися партнерами (Бобом и Карлом).
Обратите внимание, что часть Алисы стоит не более 1/3, а оставшаяся часть составляет не менее 2/3 для Боба и Карла. Итак, если Боб и Карл получают хотя бы половину остатка, они не завидуют. Задача состоит в том, чтобы Алиса не завидовала никому из них.
Решение основано на следующем наблюдении: для каждого угла, Алиса может подставить нож под углом а остаток разрежьте на две равные в ее глазах половинки . Это означает, что Алиса может вращать нож над остатком так, чтобы части с двух сторон ножа всегда были равны в ее глазах.
Когда нож находится под углом 0, Боб (слабо) предпочитает либо кусок над ножом, либо кусок под ножом; когда нож находится под углом 180, части меняются местами. Следовательно, согласно теореме о промежуточном значении , должен быть угол, при котором Боб считает, что части с обеих сторон ножа равны. Под этим углом Боб кричит «стоп!». Торт разрезается, Карл выбирает кусок, а Боб получает второй.
Анализ
Алиса не завидует, потому что для нее все три штуки стоят ровно 1/3.
Боб и Карл не завидуют Алисе, потому что ее фигура стоит не более 1/3, а их фигура - не менее (1/2) * (2/3) = 1/3.
Боб не завидует Карлу, потому что их фигуры равны в его глазах; Карл не завидует Бобу, потому что он выбрал лучшее в его глазах.
Делить плохой торт
Процедура с вращающимся ножом может быть адаптирована для рутинного деления - деления торта с отрицательным значением: [1] : упражнение 5.10 на начальном этапе. Следует выбрать крайний правый разрез, а не крайний левый разрез.