Аксиомы масштабного пространства

В обработке изображений и компьютерного зрения , A пространственный масштаб рамки могут быть использованы для представления изображения в виде семейства постепенно сглаженных изображений. Эта структура очень общая, и существует множество представлений о масштабном пространстве . Типичный подход к выбору конкретного типа представления масштабного пространства состоит в том, чтобы установить набор аксиом масштабного пространства , описывающий основные свойства желаемого представления масштабного пространства и часто выбираемых таким образом, чтобы сделать представление полезным в практических приложениях. После установления аксиомы сужают возможные представления в масштабном пространстве до меньшего класса, обычно с несколькими свободными параметрами.

Набор аксиом стандартного масштабного пространства, обсуждаемый ниже, приводит к линейному гауссовскому масштабному пространству, которое является наиболее распространенным типом масштабного пространства, используемым в обработке изображений и компьютерном зрении.

Аксиомы масштабного пространства для линейного представления масштабного пространства [ править ]

Линейное масштабное пространственное представление сигнала, полученное сглаживанием с помощью ядра Гаусса, удовлетворяет ряду свойств « аксиом масштабного пространства», которые делают его специальной формой многомасштабного представления:${\displaystyle L(x,y,t)=(T_{t}f)(x,y)=g(x,y,t)*f(x,y)}$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle g(x,y,t)}$

• линейность

${\displaystyle T_{t}(af+bh)=aT_{t}f+bT_{t}h}$

где и - сигналы, а и - константы,${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

• инвариантность сдвига

${\displaystyle T_{t}S_{(\Delta x,\Delta _{y})}f=S_{(\Delta x,\Delta _{y})}T_{t}f}$

где обозначает оператор сдвига (трансляции)${\displaystyle S_{(\Delta x,\Delta _{y})}}$${\displaystyle (S_{(\Delta x,\Delta _{y})}f)(x,y)=f(x-\Delta x,y-\Delta y)}$

• структура полугруппы

${\displaystyle g(x,y,t_{1})*g(x,y,t_{2})=g(x,y,t_{1}+t_{2})}$

с соответствующим свойством каскадного сглаживания

${\displaystyle L(x,y,t_{2})=g(x,y,t_{2}-t_{1})*L(x,y,t_{1})}$

• существование бесконечно малого генератора ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \partial _{t}L(x,y,t)=(AL)(x,y,t)}$

• отсутствие локальных экстремумов (нулевых переходов) в одном измерении,
• отсутствие усиления локальных экстремумов в любом количестве измерений

${\displaystyle \partial _{t}L(x,y,t)\leq 0}$в пространственных максимумах и в пространственных минимумах,${\displaystyle \partial _{t}L(x,y,t)\geq 0}$

• вращательная симметрия

${\displaystyle g(x,y,t)=h(x^{2}+y^{2},t)}$для какой-то функции ,${\displaystyle h}$

• масштабная инвариантность

${\displaystyle {\hat {g}}(\omega _{x},\omega _{y},t)={\hat {h}}({\frac {\omega _{x}}{\varphi (t)}},{\frac {\omega _{x}}{\varphi (t)}})}$

для некоторых функций и где обозначает преобразование Фурье ,${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\hat {h}}}$${\displaystyle {\hat {g}}}$${\displaystyle g}$

• позитивность :

${\displaystyle g(x,y,t)\geq 0}$,

• нормализация :

${\displaystyle \int _{x=-\infty }^{\infty }\int _{y=-\infty }^{\infty }g(x,y,t)\,dx\,dy=1}$.

Фактически, можно показать, что гауссово ядро ​​является уникальным выбором, учитывая несколько различных комбинаций подмножеств этих аксиом масштабного пространства: ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [ 8] [9] [10] [11]} большинство аксиом (линейность, инвариантность к сдвигу, полугруппа) соответствуют масштабированию как полугруппе инвариантных к сдвигу линейных операторов, которым удовлетворяет ряд интегральных преобразований семейств , в то время как " не создание локальных экстремумов » ^[4] для одномерных сигналов или« неусиление локальных экстремумов » ^{[4] [7] [10]}для сигналов более высокой размерности являются ключевыми аксиомами, которые связывают масштабные пространства со сглаживанием (формально параболические уравнения в частных производных ) и, следовательно, выбирают для гауссовского.

Гауссово ядро также разъемные в декартовой системе координат, то есть . Однако разделимость не считается аксиомой пространства масштаба, поскольку это свойство, зависящее от координат, связанное с проблемами реализации. Кроме того, требование разделимости в сочетании с вращательной симметрией как таковое фиксирует сглаживающее ядро ​​как гауссово.${\displaystyle g(x,y,t)=g(x,t)\,g(y,t)}$

Существует обобщение теории гауссовского масштабного пространства на более общие аффинные и пространственно-временные масштабные пространства. ^{[10] [11]} В дополнение к изменчивости по шкале, для решения которой была разработана оригинальная теория масштабного пространства, эта обобщенная теория масштабного пространстватакже включает другие типы изменчивости, в том числе деформации изображения, вызванные вариациями просмотра, аппроксимируемые локальными аффинными преобразованиями, и относительные движения между объектами в мире и наблюдателем, аппроксимируемые локальными преобразованиями Галилея. В этой теории вращательная симметрия не является необходимой аксиомой масштабного пространства, а вместо этого заменяется требованиями аффинной и / или галилеевой ковариантности. Обобщенная теория масштабного пространства приводит к предсказаниям о профилях рецептивного поля в хорошем качественном согласии с профилями рецептивного поля, измеренными посредством записи клеток в биологическом зрении. ^{[12] [13] [14]}

В компьютерном зрении , обработки изображений и обработка сигналов литературы существует много других многомасштабный подходов, с использованием вейвлет и множества других ядер, которые не эксплуатируют или требуют того же требования, масштаб пространства сделать описание; см. статью о связанных многомасштабных подходах . Также велась работа над концепциями дискретного масштабного пространства, которые переносят свойства масштабного пространства в дискретную область; см. статью о реализации масштабного пространства для примеров и ссылок.

См. Также [ править ]

• Масштабировать пространство
• Реализация масштабного пространства

Ссылки [ править ]