Масштабировать пространство

Масштабное пространство теория является основой для разномасштабную сигнала представления , разработанного компьютерного зрения , обработки изображений и обработка сигналов сообществ с дополнительными мотивами из физики и биологического видения . Это формальная теория для обработки структур изображений в различных масштабах , представляющая изображение как однопараметрическое семейство сглаженных изображений, представление в масштабном пространстве , параметризованное размером сглаживающего ядра, используемого для подавления мелкомасштабных структур. ^{[1] [2] [3] [4][5] [6] [7] [8]} Параметрв этом семействе упоминается как параметр масштаба , с интерпретацией, что структуры изображения пространственного размера меньше, чем примерно,были в значительной степени сглажены на уровне масштабного пространства в масштабе.${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ sqrt {t}}}$${\ displaystyle t}$

Основным типом масштабного пространства является линейное (гауссово) масштабное пространство , которое имеет широкую применимость, а также привлекательное свойство возможности быть выведенным из небольшого набора аксиом масштабного пространства . Соответствующая структура масштабного пространства включает в себя теорию операторов производной Гаусса, которая может использоваться в качестве основы для выражения большого класса визуальных операций для компьютеризированных систем, обрабатывающих визуальную информацию. Эта структура также позволяет сделать визуальные операции инвариантными к масштабу , что необходимо для работы с изменениями размера, которые могут возникать в данных изображения, поскольку реальные объекты могут иметь разные размеры и, кроме того, расстояние между объектом и камерой может быть неизвестным и может отличаться в зависимости от обстоятельств.^{[9] [10]}

Определение [ править ]

Понятие масштабного пространства применяется к сигналам с произвольным числом переменных. Наиболее распространенный в литературе случай относится к двумерным изображениям, которые и представлены здесь. Для данного изображения , его линейное (гауссово) масштаба пространство представление представляет собой семейство производных сигналов определяется сверткой из с двумерный гауссовым ядром${\ displaystyle f (x, y)}$${\ Displaystyle L (х, у; т)}$${\ displaystyle f (x, y)}$

${\ displaystyle g (x, y; t) = {\ frac {1} {2 \ pi t}} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2}) / 2t} \,}$

такой, что

${\ Displaystyle L (\ CDOT, \ CDOT; т) \ = г (\ CDOT, \ CDOT; т) * е (\ CDOT, \ CDOT),}$

где точка с запятой в аргументе означает, что свертка выполняется только по переменным , а параметр масштаба после точки с запятой просто указывает, какой уровень масштабирования определяется. Это определение работает для континуума масштабов , но обычно фактически рассматривается только конечный дискретный набор уровней в представлении масштабного пространства.${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle L}$${\ Displaystyle т \ geq 0}$

Масштабный параметр представляет собой дисперсию от фильтра гауссова и , как предел для фильтра становится импульсной функции , такие , что , то есть представление масштаба пространство в масштабе уровня является изображение само по себе. По мере увеличения является результатом сглаживания все более и более крупным фильтром, тем самым удаляя все больше и больше деталей, содержащихся в изображении. Поскольку стандартное отклонение фильтра равно , детали, которые значительно меньше этого значения, в значительной степени удаляются из изображения при параметре масштаба , см. Следующий рисунок и ^[11] для графических иллюстраций.${\ Displaystyle т = \ сигма ^ {2}}$${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle g}$${\displaystyle L(x,y;0)=f(x,y),}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sigma ={\sqrt {t}}}$${\displaystyle t}$

• Масштабное представление в масштабе , соответствующем исходному изображению${\displaystyle L(x,y;t)}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle f}$

• Масштабно-пространственное представление в масштабе${\displaystyle L(x,y;t)}$${\displaystyle t=1}$

• Масштабно-пространственное представление в масштабе${\displaystyle L(x,y;t)}$${\displaystyle t=4}$

• Масштабно-пространственное представление в масштабе${\displaystyle L(x,y;t)}$${\displaystyle t=16}$

• Масштабно-пространственное представление в масштабе${\displaystyle L(x,y;t)}$${\displaystyle t=64}$

• Масштабно-пространственное представление в масштабе${\displaystyle L(x,y;t)}$${\displaystyle t=256}$

Почему фильтр Гаусса? [ редактировать ]

Столкнувшись с задачей генерации многомасштабного представления, можно спросить: может ли любой фильтр g низкочастотного типа и с параметром t, определяющим его ширину, использоваться для генерации масштабного пространства? Ответ - нет, поскольку крайне важно, чтобы сглаживающий фильтр не вводил новые ложные структуры в грубых масштабах, которые не соответствуют упрощениям соответствующих структур в более мелких масштабах. В литературе по масштабному пространству было выражено несколько различных способов сформулировать этот критерий в точных математических терминах.

Вывод из нескольких различных аксиоматических выводов, которые были представлены, заключается в том, что гауссово масштабное пространство представляет собой канонический способ создания линейного масштабного пространства, основанного на важном требовании, что новые структуры не должны создаваться при переходе от мелкого масштаба к любому более грубому масштабу. . ^{[1] [3] [4] [6] [9] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] »} Условия, называемые аксиомами масштабного пространства , которые были использованы для вывода уникальности ядра Гаусса, включая линейность , инвариантность сдвига , полугруппуструктура, отсутствие усиления локальных экстремумов , масштабная инвариантность и вращательная инвариантность . В работах ^{[15] [20] [21]} критиковалась уникальность аргументов, основанных на масштабной инвариантности, и предлагались альтернативные самоподобные ядра масштабного пространства. Однако гауссово ядро ​​является уникальным выбором в соответствии с аксиоматикой масштабного пространства, основанной на причинности ^[3] или отсутствии усиления локальных экстремумов. ^{[16] [18]}

Альтернативное определение [ править ]

Эквивалентно семейство масштабных пространств можно определить как решение уравнения диффузии (например, в терминах уравнения теплопроводности ),

${\displaystyle \partial _{t}L={\frac {1}{2}}\nabla ^{2}L,}$

с начальным состоянием . Эта формулировка представления масштабного пространства L означает, что можно интерпретировать значения интенсивности изображения f как «распределение температуры» в плоскости изображения и что процесс, который генерирует представление масштабного пространства как функцию t, соответствует к диффузии тепла в плоскости изображения за время t (при условии, что теплопроводность материала равна произвольно выбранной постоянной ½). Хотя эта связь может показаться поверхностной для читателя, не знакомого с дифференциальными уравнениями${\displaystyle L(x,y;0)=f(x,y)}$, действительно так, что основная формулировка масштабного пространства в терминах неусиления локальных экстремумов выражается в терминах условия знака для частных производных в 2 + 1-мерном объеме, порожденном масштабным пространством, то есть в пределах система дифференциальных уравнений в частных производных . Кроме того, подробный анализ дискретного случая показывает, что уравнение диффузии обеспечивает объединяющую связь между непрерывными и дискретными масштабными пространствами, которые также обобщаются на нелинейные масштабные пространства, например, с использованием анизотропной диффузии . Следовательно, можно сказать, что основным способом создания масштабного пространства является уравнение диффузии, и что гауссово ядро ​​возникает как функция Грина этого конкретного уравнения в частных производных.

Мотивации [ править ]

Мотивация для создания представления заданного набора данных в масштабном пространстве проистекает из основного наблюдения, что объекты реального мира состоят из разных структур в разных масштабах . Это означает, что объекты реального мира, в отличие от идеализированных математических объектов, таких как точки или линии , могут появляться по-разному в зависимости от масштаба наблюдения. Например, концепция «дерева» уместна в масштабе метров, тогда как такие понятия, как листья и молекулы, более уместны в более мелких масштабах. Для системы компьютерного зрения , анализирующей неизвестную сцену, невозможно заранее узнать, какие масштабыподходят для описания интересных структур в данных изображения. Следовательно, единственный разумный подход - рассматривать описания в нескольких масштабах, чтобы иметь возможность фиксировать неизвестные вариации масштаба, которые могут произойти. В пределе масштабное представление рассматривает представления во всех масштабах. ^[9]

Другая мотивация концепции масштабного пространства проистекает из процесса выполнения физических измерений на реальных данных. Чтобы извлечь любую информацию из процесса измерения, нужно применять к данным операторы не бесконечно малого размера . Во многих областях информатики и прикладной математики размер оператора измерения не принимается во внимание при теоретическом моделировании проблемы. С другой стороны, теория масштабного пространства явно включает необходимость не бесконечно малого размера операторов изображения как неотъемлемой части любого измерения, а также любой другой операции, которая зависит от реального измерения. ^[5]

Существует тесная связь между теорией масштабного пространства и биологическим видением. Многие масштабно-пространственные операции показывают высокую степень сходства с профилями рецептивного поля, записанными на сетчатке млекопитающих и на первых этапах в зрительной коре. В этом отношении каркас масштаб-пространство можно рассматривать как теоретически хорошо обоснованную парадигму раннего видения, которая, кроме того, была тщательно проверена алгоритмами и экспериментами. ^{[4] [9]}

Гауссовские производные [ править ]

В любом масштабе в масштабном пространстве мы можем применить операторы локальной производной к представлению в масштабном пространстве:

${\displaystyle L_{x^{m}y^{n}}(x,y;t)=\left(\partial _{x^{m}y^{n}}L\right)(x,y;t).}$

Благодаря свойству коммутативности между оператором производной и оператором сглаживания по Гауссу, такие производные в масштабном пространстве могут быть эквивалентно вычислены путем свертки исходного изображения с операторами производных по Гауссу. По этой причине их часто также называют производными Гаусса :

${\displaystyle L_{x^{m}y^{n}}(\cdot ,\cdot ;t)=\partial _{x^{m}y^{n}}g(\cdot ,\cdot ;\,t)*f(\cdot ,\cdot ).}$

Уникальность операторов гауссовой производной как локальных операций, полученных из представления масштабного пространства, может быть получена с помощью аналогичных аксиоматических выводов, которые используются для вывода уникальности гауссовского ядра для сглаживания масштабного пространства. ^{[4] [22]}

Визуальный интерфейс [ править ]

Эти операторы производной Гаусса, в свою очередь, могут быть объединены линейными или нелинейными операторами в большее количество различных типов детекторов признаков, которые во многих случаях могут быть хорошо смоделированы с помощью дифференциальной геометрии . В частности, инвариантность (или более подходящая ковариация ) к локальным геометрическим преобразованиям, таким как вращения или локальные аффинные преобразования, может быть получена путем рассмотрения дифференциальных инвариантов в соответствующем классе преобразований или, в качестве альтернативы, путем нормализации операторов производной Гаусса на локально определенную систему координат, определенную из, например, предпочтительной ориентации в области изображения или путем применения предпочтительного локального аффинного преобразования к локальному фрагменту изображения (см. статью об адаптации аффинной формы для получения дополнительной информации).

Когда гауссовские производные операторы и дифференциальные инварианты используются таким образом в качестве детекторов основных признаков в нескольких масштабах, незафиксированные первые этапы визуальной обработки часто называют визуальным интерфейсом . Эта общая структура была применена к большому разнообразию проблем в области компьютерного зрения, в том числе обнаружения особенностей , классификации признака , сегментаций изображений , согласование изображений , оценки движения , расчет формы реплик и распознавание объектов . Набор операторов производной Гаусса до определенного порядка часто называют N-струей и составляет основной тип объекта в рамках масштабного пространства.

Примеры детекторов [ править ]

Следуя идее выражения визуальных операций в терминах дифференциальных инвариантов, вычисляемых в нескольких масштабах с использованием операторов производной Гаусса, мы можем выразить детектор края из набора точек, которые удовлетворяют требованию, чтобы величина градиента

${\displaystyle L_{v}={\sqrt {L_{x}^{2}+L_{y}^{2}}}}$

должен принимать локальный максимум в направлении градиента

${\displaystyle \nabla L=(L_{x},L_{y})^{T}.}$

Путем разработки дифференциальной геометрии можно показать ^[4], что этот дифференциальный детектор кромок может быть эквивалентно выражен из переходов через нуль дифференциального инварианта второго порядка

${\displaystyle {\tilde {L}}_{v}^{2}=L_{x}^{2}\,L_{xx}+2\,L_{x}\,L_{y}\,L_{xy}+L_{y}^{2}\,L_{yy}=0}$

удовлетворяющие следующему знаковому условию на дифференциальный инвариант третьего порядка:

${\displaystyle {\tilde {L}}_{v}^{3}=L_{x}^{3}\,L_{xxx}+3\,L_{x}^{2}\,L_{y}\,L_{xxy}+3\,L_{x}\,L_{y}^{2}\,L_{xyy}+L_{y}^{3}\,L_{yyy}<0.}$

Точно так же многомасштабные детекторы капель в любом заданном фиксированном масштабе ^{[23] [9]} могут быть получены из локальных максимумов и локальных минимумов любого оператора Лапласа (также называемого лапласианом Гаусса )

${\displaystyle \nabla ^{2}L=L_{xx}+L_{yy}\,}$

или определитель матрицы Гессе

${\displaystyle \operatorname {det} HL(x,y;t)=(L_{xx}L_{yy}-L_{xy}^{2}).}$

Аналогичным образом детекторы углов и детекторы гребней и впадин могут быть выражены как локальные максимумы, минимумы или переходы через нуль многомасштабных дифференциальных инвариантов, определенных из производных Гаусса. Однако алгебраические выражения для операторов обнаружения углов и выступов несколько сложнее, и читателю отсылают к статьям об обнаружении углов и обнаружении гребней для получения более подробной информации.

Операции масштабного пространства также часто использовались для выражения методов от грубого к точному, в частности, для таких задач, как сопоставление изображений и многомасштабная сегментация изображений .

Выбор шкалы [ править ]

Теория, представленная до сих пор, описывает хорошо обоснованную основу для представления структур изображений в нескольких масштабах. Однако во многих случаях также необходимо выбрать масштаб, соответствующий местным условиям, для дальнейшего анализа. Необходимость выбора шкалы проистекает из двух основных причин; (i) объекты реального мира могут иметь разный размер, и этот размер может быть неизвестен системе зрения, и (ii) расстояние между объектом и камерой может меняться, и эта информация о расстоянии также может быть неизвестна априори . Очень полезным свойством представления масштабного пространства является то, что представления изображений можно сделать инвариантными к масштабам, выполнив автоматический выбор локального масштаба ^{[9] [10] [23] [24] [25][26] [27] [28]} на основе локальных максимумов (или минимумов ) по шкалам нормированных по масштабу производных

${\displaystyle L_{\xi ^{m}\eta ^{n}}(x,y;t)=t^{(m+n)\gamma /2}L_{x^{m}y^{n}}(x,y;t)}$

где - параметр, связанный с размерностью элемента изображения. Это алгебраическое выражение для операторов масштабно нормализованной производной Гаусса происходит от введения -нормированных производных в соответствии с${\displaystyle \gamma \in [0,1]}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \partial _{\xi }=t^{\gamma /2}\partial _{x}\quad }$ а также ${\displaystyle \quad \partial _{\eta }=t^{\gamma /2}\partial _{y}.}$

Теоретически можно показать, что модуль выбора масштаба, работающий по этому принципу, будет удовлетворять следующему свойству ковариации масштаба : если для определенного типа характеристики изображения предполагается локальный максимум на определенном изображении в определенном масштабе , то при изменении масштаба изображение с коэффициентом масштабирования, локальный максимум по масштабам в масштабированном изображении будет преобразовано в масштабный уровень . ^[23]${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s^{2}t_{0}}$

Обнаружение инвариантной функции масштабирования [ править ]

Следуя этому подходу гамма-нормированных производных, можно показать, что различные типы масштабно-адаптивных и масштабно-инвариантных детекторов признаков ^{[9] [10] [23] [24] [25] [29] [30] [27]} могут быть выражаемся для таких задач, как обнаружение большого двоичного объекта , обнаружение угла , обнаружение конька , обнаружение края и обнаружение интерес точки пространственно-временной(см. конкретные статьи по этим темам для подробного описания того, как сформулированы эти масштабно-инвариантные детекторы признаков). Кроме того, уровни шкалы, полученные в результате автоматического выбора шкалы, могут использоваться для определения областей интереса для последующей адаптации аффинной формы ^[31] для получения аффинно-инвариантных точек интереса ^{[32] [33]} или для определения уровней шкалы для вычисления связанных дескрипторов изображений , таких как как адаптированные к местным условиям N-форсунки .

Недавняя работа показала, что таким образом могут быть выполнены и более сложные операции, такие как масштабно-инвариантное распознавание объектов , путем вычисления локальных дескрипторов изображения (N-струй или локальных гистограмм направлений градиента) в точках интереса, адаптированных к масштабу, полученных из масштабирования. пространственные экстремумы нормализованного оператора Лапласа (см. также масштабно-инвариантное преобразование признаков ^[34] ) или определитель гессиана (см. также SURF ); ^[35] см. Также статью Scholarpedia о масштабно-инвариантном преобразовании признаков ^[36] для более общего взгляда на подходы к распознаванию объектов, основанные на ответах рецептивного поля ^{[19] [37] [38][39]} в терминах гауссовских производных операторов или их приближений.

Связанные многомасштабные представления [ править ]

Пирамида изображений - это дискретное представление, в котором масштабное пространство выбирается как в пространстве, так и в масштабе. Для масштабной инвариантности масштабные коэффициенты следует выбирать экспоненциально, например, как целые степени 2 или √ 2 . При правильном построении соотношение частот дискретизации в пространстве и масштабе остается постоянным, так что импульсный отклик идентичен на всех уровнях пирамиды. ^{[40] [41] [42] [43]} Существуют быстрые, O (N) алгоритмы для вычисления масштабно-инвариантной пирамиды изображения, в которой изображение или сигнал многократно сглаживаются, а затем субдискретизируются. Значения шкалы между образцами пирамиды можно легко оценить с помощью интерполяции внутри шкалы и между шкалами, а также с учетом оценок масштаба и положения с точностью до субразрешения. ^[43]

В представлении масштабного пространства наличие непрерывного масштабного параметра позволяет отслеживать пересечения нуля масштабов, что приводит к так называемой глубокой структуре . Для функций , определенных в качестве переходов через нуль из дифференциальных инвариантов , то теорема о неявной функции непосредственно определяет траектории по шкалам, ^{[4] [44]} и в тех масштабах , где бифуркации происходят, локальное поведение может быть смоделированы с помощью теории особенностей . ^{[4] [44] [45] [46] [47]}

Расширения теории линейного масштабного пространства касаются формулировки понятий нелинейного масштабного пространства, более ориентированных на конкретные цели. ^{[48] [49]} Эти нелинейные масштабные пространствачасто начинают с эквивалентной диффузной формулировки концепции масштабного пространства, которая впоследствии расширяется нелинейным образом. Таким образом было сформулировано большое количество эволюционных уравнений, мотивированных различными конкретными требованиями (дополнительную информацию см. В упомянутых выше справочниках по книгам). Следует отметить, однако, что не все эти нелинейные масштабные пространства удовлетворяют тем же «хорошим» теоретическим требованиям, что и концепция линейного гауссовского масштабного пространства. Следовательно, иногда могут возникать неожиданные артефакты, и нужно быть очень осторожным, чтобы не использовать термин «масштабное пространство» только для любого типа однопараметрического семейства изображений.

Расширение первого порядка изотропного гауссовского масштабного пространства обеспечивается аффинным (гауссовым) масштабным пространством . ^[4] Одна из причин для этого расширения проистекает из общей потребности в вычислении дескрипторов изображений для реальных объектов, которые просматриваются в рамках модели перспективной камеры . Чтобы обрабатывать такие нелинейные деформации локально, частичная инвариантность (или, точнее, ковариантность ) к локальным аффинным деформациям может быть достигнута путем рассмотрения аффинных гауссовских ядер с их формой, определяемой локальной структурой изображения, ^[31] см. Статью об адаптации аффинной формыпо теории и алгоритмам. В самом деле, это аффинное масштабное пространство также может быть выражено из неизотропного расширения линейного (изотропного) уравнения диффузии, все еще находясь в классе линейных уравнений в частных производных .

Существует более общее расширение модели гауссовского масштабного пространства на аффинные и пространственно-временные масштабные пространства. ^{[4] [31] [18] [19] [50]} В дополнение к изменчивости по шкале, для решения которой была разработана оригинальная теория масштабного пространства, эта обобщенная теория масштабного пространства ^[19]также включает другие типы изменчивости, вызванные геометрическими преобразованиями в процессе формирования изображения, включая вариации направления взгляда, аппроксимируемые локальными аффинными преобразованиями, и относительные движения между объектами в мире и наблюдателем, аппроксимируемые локальными преобразованиями Галилея. Эта обобщенная теория масштабного пространства приводит к предсказаниям о профилях рецептивного поля в хорошем качественном согласии с профилями рецептивного поля, измеренными с помощью записей клеток в биологическом зрении. ^{[51] [52] [50] [53]}

Между теорией масштабного пространства и теорией всплесков существует тесная связь , хотя эти два понятия многомасштабного представления были разработаны из несколько разных предпосылок. Также велась работа над другими многомасштабными подходами , такими как пирамиды и множество других ядер, которые не используют или не требуют тех же требований, что и истинные описания в масштабе пространства.

Связь с биологическим зрением и слухом [ править ]

Есть интересные отношения между представлением в масштабном пространстве и биологическим зрением и слухом. Нейрофизиологические исследования биологического зрения показали, что существуют профили рецептивного поля в сетчатке и зрительной коре млекопитающих , которые могут быть хорошо смоделированы операторами линейной производной Гаусса, в некоторых случаях также дополненными неизотропной аффинной моделью масштабного пространства, пространственной -временная масштабно-пространственная модель и / или нелинейные комбинации таких линейных операторов. ^{[18] [51] [52] [50] [53] [54] [55] [56] [57]}

Что касается биологического слуха, существуют профили рецептивного поля в нижних бугорках и первичной слуховой коре, которые могут быть хорошо смоделированы спектрально-временными рецептивными полями, которые могут быть хорошо смоделированы гауссовыми производными по логарифмическим частотам и оконным преобразованием Фурье с течением времени с оконными функциями. ядра временного масштабного пространства. ^{[58] [59]}

Проблемы реализации [ править ]

При реализации сглаживания масштабного пространства на практике существует ряд различных подходов, которые можно использовать в терминах непрерывного или дискретного сглаживания по Гауссу, реализации в области Фурье, в терминах пирамид на основе биномиальных фильтров, которые аппроксимируют гауссово, или с использованием рекурсивных фильтров. . Подробнее об этом читайте в отдельной статье о реализации масштабного пространства .

См. Также [ править ]

• Разница гауссианов
• Функция Гаусса
• mipmapping

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Линдеберг, Тони (2008). «Масштаб-пространство» . В Бенджамине Ва (ред.). Энциклопедия компьютерных наук и инженерии . IV . Джон Вили и сыновья. С. 2495–2504. DOI : 10.1002 / 9780470050118.ecse609 . ISBN 978-0470050118.
• Линдеберг, Тони: Теория масштабного пространства: основной инструмент для анализа структур в различных масштабах, в J. of Applied Statistics, 21 (2), стр. 224–270, 1994. (более длинный учебник в формате pdf по масштабному пространству)
• Линдеберг, Тони: Масштаб-пространство: структура для обработки структур изображений в различных масштабах, Proc. Компьютерная школа ЦЕРН, 96 (8): 27-38, 1996.
• Ромени, Барт тер Хаар: Введение в теорию масштабного пространства: многомасштабный анализ геометрических изображений, Учебник VBC '96, Гамбург, Германия, Четвертая международная конференция по визуализации в биомедицинских вычислениях.
• Флорак, Люк, Ромени, Барт тер Хаар, Виергевер, Макс и Кендеринк, Ян: Пространство линейных масштабов, Журнал математической визуализации и зрения, том 4: 325–351, 1994.
• Линдеберг, Тони, «Принципы автоматического выбора шкалы», В: Б. Яне (и др., Ред.), Справочник по компьютерному зрению и приложениям, том 2, стр. 239-274, Academic Press, Бостон, США, 1999. (учебник по подходам к автоматическому выбору шкалы)
• Линдеберг, Тони: "Теория масштабного пространства" В: Энциклопедия математики, ( Michiel Hazewinkel , ed) Kluwer, 1997.
• Резервное копирование веб-архива: Лекция по масштабному пространству в Массачусетском университете (pdf)

Внешние ссылки [ править ]

• Интерактивное руководство по Java Powers of Ten на веб-сайте Molecular Expressions
• Он-лайн ресурс с пространственно-временными рецептивными полями зрительных нейронов, предоставленный Идзуми Охзава из Университета Осаки
• Обнаружение пиков в одномерных данных с использованием масштабно-пространственного подхода Лицензированный BSD код MATLAB