В математике инверсия множеств - это проблема характеристики прообраза X множества Y функцией f , т. Е. X = f −1 ( Y ) = { x ∈ R n | f ( x ) ∈ Y }. Его также можно рассматривать как проблему описания множества решений количественного ограничения «Y (f (x))», где Y (y) - ограничение, например неравенство, описывающее множество Y.
В большинстве приложений f является функцией от R n до R p, а множество Y - это блок R p (то есть декартово произведение p интервалов R ).
Когда f является нелинейным, проблема обращения множества может быть решена [1] с использованием интервального анализа в сочетании с алгоритмом ветвей и границ . [2]
Основная идея состоит в том, чтобы построить брусчатку из R п из неперекрывающихся боксов. Для каждого блока [ x ] мы выполняем следующие тесты:
- если f ([ x ]) ⊂ Y, заключаем, что [ x ] ⊂ X ;
- если f ([ x ]) ∩ Y = ∅, заключаем, что [ x ] ∩ X = ∅;
- В противном случае прямоугольник [ x ] прямоугольник делится пополам, кроме случаев, когда его ширина меньше заданной точности.
Чтобы проверить два первых теста, нам понадобится расширение интервала (или функция включения) [ f ] для f . Классифицированные ящики хранятся в подположениях , т. Е. В объединении неперекрывающихся ящиков. Алгоритм можно сделать более эффективным, заменив подрядчиками тесты включения .
Пример
Множество X = f −1 ([4,9]), где f ( x 1 , x 2 ) = x2
1+ х2
2 представлен на рисунке.
Например, поскольку [−2,1] 2 + [4,5] 2 = [0,4] + [16,25] = [16,29] не пересекает интервал [4,9], мы заключаем, что коробка [-2,1] × [4,5] находится за пределами Х . Поскольку [−1,1] 2 + [2, √ 5 ] 2 = [0,1] + [4,5] = [4,6] находится внутри [4,9], мы заключаем, что вся коробка [- 1,1] × [2, √ 5 ] находится внутри Х .
Заявление
Инверсия множества в основном используется для планирования пути , для оценки набора нелинейных параметров [3] [4] , для локализации [5] [6] или для характеристики областей устойчивости линейных динамических систем. [7] .
Рекомендации
- ^ Jaulin, L .; Уолтер, Э. (1993). «Установить инверсию с помощью интервального анализа для нелинейной оценки ограниченной ошибки» (PDF) . Automatica . 29 (4): 1053–1064. DOI : 10.1016 / 0005-1098 (93) 90106-4 .
- ^ Jaulin, L .; Kieffer, M .; Didrit, O .; Уолтер, Э. (2001). Прикладной интервальный анализ . Берлин: Springer. ISBN 1-85233-219-0.
- ^ Jaulin, L .; Годе, JL; Walter, E .; Elliasmine, A .; Ледафф, Ю. (1997). «Анализ данных о светорассеянии с помощью инверсии множеств» (PDF) . Журнал физики A: математический и общий . 30 : 7733–7738. Bibcode : 1997JPhA ... 30.7733J . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 30/22/012 .
- ^ Braems, I .; Berthier, F .; Jaulin, L .; Kieffer, M .; Уолтер, Э. (2001). «Гарантированная оценка электрохимических параметров путем инверсии набора с использованием интервального анализа» (PDF) . Журнал электроаналитической химии . 495 (1).
- ^ Colle, E .; Галерн, С. (2013). «Локализация мобильного робота методом мультиангуляции с использованием инверсии множеств». Робототехника и автономные системы . 66 (1). DOI : 10.1016 / j.robot.2012.09.006 .
- ^ Drevelle, V .; Боннифайт, доктор наук (2011). «Подход, основанный на членстве в множестве, для позиционирования спутников с высокой степенью целостности с помощью высоты» . Решения GPS . 15 (4).
- ^ Walter, E .; Жаулин, Л. (1994). «Гарантированная характеристика областей устойчивости с помощью инверсии множеств» (PDF) . IEEE Trans. Автомат. Контроль . 39 (4).