Процесс рождения

В теории вероятностей процесс рождения или чистый процесс рождения ^[1] является частным случаем марковского процесса с непрерывным временем и обобщением процесса Пуассона . Он определяет непрерывный процесс, который принимает значения в натуральных числах и может увеличиваться только на единицу («рождение») или оставаться неизменным. Это тип процесса рождения-смерти без смертей. Скорость, с которой происходят рождения, определяется экспоненциальной случайной величиной , параметр которой зависит только от текущего значения процесса.

Процесс рождаемости с коэффициентами рождаемости и начальным значением является минимальным непрерывным справа процессом таким, что и времена между приходами являются независимыми экспоненциальными случайными величинами с параметром . ^[2]${\ Displaystyle (\ лямбда _ {п}, п \ в \ mathbb {N})}$${\ Displaystyle к \ в \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle (X_ {т}, т \ geq 0)}$${\ Displaystyle X_ {0} = к}$${\ displaystyle T_ {i} = \ inf \ {t \ geq 0: X_ {t} = i + 1 \} - \ inf \ {t \ geq 0: X_ {t} = i \}}$${\ Displaystyle \ лямбда _ {я}}$

Процесс рождения с нормами и начальным значением — это процесс такой, что:${\ Displaystyle (\ лямбда _ {п}, п \ в \ mathbb {N})}$${\ Displaystyle к \ в \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle (X_ {т}, т \ geq 0)}$

Эти условия гарантируют, что процесс начинается при , не убывает и имеет независимые однократные рождения непрерывно со скоростью , когда процесс имеет значение . ^[3]${\ Displaystyle я}$${\ Displaystyle \ лямбда _ {п}}$${\ Displaystyle п}$

Процесс рождения с показателями рождаемости .${\ Displaystyle \ лямбда _ {0}, \ лямбда _ {1}, \ лямбда _ {2}, ...}$

Процесс Пуассона является частным случаем процесса рождения.

Простой процесс рождения, при котором уровень рождаемости равен размеру текущего населения.