Процесс рождения-смерти (или процесс рождения и смерти ) является частным случаем марковского процесса с непрерывным временем, где переходы между состояниями бывают только двух типов: «рождения», которые увеличивают переменную состояния на единицу, и «смерти», которые уменьшают состояние на единицу. Название модели происходит от общего приложения, использования таких моделей для представления текущего размера популяции, где переходы - это буквальные рождения и смерти. Процессы рождения и смерти находят множество применений в демографии , теории очередей , инженерии производительности , эпидемиологии , биологии и других областях. Их можно использовать, например, для изучения эволюциибактерии , количество людей с заболеванием в популяции или количество покупателей в очереди в супермаркете.
Когда происходит рождение, процесс переходит из состояния n в состояние n + 1. Когда происходит смерть, процесс переходит из состояния n в состояние n - 1. Процесс определяется коэффициентами рождаемости. и уровень смертности .
Повторяемость и быстротечность
О рекуррентности и быстротечности в марковских процессах см. Раздел 5.3 из цепочки Маркова .
Условия повторения и быстротечности
Условия повторения и быстротечности были установлены Сэмюэлем Карлином и Джеймсом МакГрегором. [1]
Процесс рождения и смерти повторяется тогда и только тогда, когда
Процесс рождения и смерти эргодичен тогда и только тогда, когда
Процесс рождения и смерти не повторяется тогда и только тогда, когда
Используя расширенный тест Бертрана (см. Раздел 4.1.4 из теста отношения ), условия повторения, быстротечности, эргодичности и нулевого повторения могут быть получены в более явной форме. [2]
Тогда условия для повторения и быстротечности процесса рождения и смерти следующие.
Процесс рождения и смерти временен, если существует а также такое, что для всех
где пустая сумма для предполагается равным 0.
Процесс рождения и смерти повторяется, если существует а также такое, что для всех
Заявление
Рассмотрим одномерное случайное блужданиечто определяется следующим образом. Позволять, а также где принимает значения , а распределение определяется следующими условиями:
где удовлетворять условию .
Описанное здесь случайное блуждание является аналогом процесса рождения и смерти в дискретном времени (см. Цепь Маркова ) с коэффициентами рождаемости.
и уровень смертности
.
Итак, повторяемость или быстротечность случайного блуждания связана с повторяемостью или быстротечностью процесса рождения и смерти. [2]
Случайное блуждание является временным, если существуют , а также такое, что для всех
где пустая сумма для предполагается равным нулю.
Случайное блуждание повторяется, если существует а также такое, что для всех
Стационарное решение
Если процесс рождения и смерти эргодичен, то существуют устойчивые вероятности. где вероятность того, что процесс рождения и смерти находится в состоянии вовремя Предел существует, независимо от начальных значений и рассчитывается по соотношениям:
В свою очередь, последняя система дифференциальных уравнений выводится из системы разностных уравнений , описывающей динамику системы за малое время.. За это короткое времятолько три типа переходов считаются одной смертью, или одним рождением, или ни рождением, ни смертью. Вероятность первых двух из этих переходов имеет порядок. Другие переходы в течение этого небольшого интерваланапример, более одного рождения , или более одной смерти , или хотя бы одно рождение и хотя бы одна смерть имеют вероятности меньшего порядка, чем, и поэтому пренебрежимо малы при выводе. Если система находится в состоянии k , то вероятность рождения в течение интервала является , вероятность смерти , а вероятность отсутствия рождения и смерти равна . Для демографического процесса «рождение» - это переход к увеличению численности населения на 1, а «смерть» - это переход к уменьшению численности популяции на 1.
В теории массового обслуживания процесс рождения и смерти является наиболее фундаментальным примером модели массового обслуживания , M / M / C / K /Очередь / FIFO (в полной записи Кендалла ). Это очередь с пуассоновскими поступлениями , взятыми из бесконечной совокупности, и C- серверами с экспоненциально распределенным временем обслуживания с K местами в очереди. Несмотря на допущение о бесконечности совокупности, эта модель является хорошей моделью для различных телекоммуникационных систем.
M / M / 1 очередь
M / M / 1 является одной очередью сервера с бесконечным размером буфера. В неслучайной среде процесс рождения и смерти в моделях очередей, как правило, является долгосрочным средним значением, поэтому средняя скорость прибытия задается как а среднее время обслуживания как . Процесс рождения и смерти представляет собой очередь M / M / 1, когда,
Очереди M / M / 1 / К одной очереди сервера с буфером размера K . У этой очереди есть приложения в телекоммуникациях, а также в биологии, когда у населения есть предел пропускной способности. В телекоммуникации мы снова используем параметры из очереди M / M / 1 с,
В биологии, особенно рост бактерий, когда популяция равна нулю, нет возможности расти, поэтому
Кроме того, если вместимость представляет собой предел, при котором человек умирает из-за превышения численности населения,
Дифференциальные уравнения для вероятности того, что система находится в состоянии k в момент времени t :
^ Карлин, Сэмюэл ; МакГрегор, Джеймс (1957). «Классификация процессов рождения и смерти» (PDF) . Труды Американского математического общества . 86 (2): 366–400.
^ а бАбрамов, Вячеслав М. (2020). «Расширение теста Бертрана – Де Моргана и его применение» . Американский математический ежемесячник . 127 (5): 444-448. arXiv : 1901.05843 . DOI : 10.1080 / 00029890.2020.1722551 .
Рекомендации
Latouche, G .; Рамасвами, В. (1999). «Квази-процессы рождения и смерти». Введение в матричные аналитические методы в стохастическом моделировании (1-е изд.). ASA SIAM. ISBN 0-89871-425-7.
Новак, Массачусетс (2006). Эволюционная динамика: изучение уравнений жизни . Издательство Гарвардского университета. ISBN 0-674-02338-2.
Виртамо, Дж. "Процессы рождения и смерти" (PDF) . 38.3143 Теория массового обслуживания . Проверено 2 декабря 2019 .