Эрланг (единица)

Эрланга (символ Е ^[1] ) представляет собой безразмерное блок , который используется в телефонии как мера предлагаемой нагрузки или переноситься нагрузку на сервис-обеспечения элементов , таких как телефонные схемы или телефонной коммутационной аппаратуры. Цепь с одним шнуром может использоваться в течение 60 минут за один час. Полное использование этой емкости, 60 минут трафика, составляет 1 эрланг. ^[2]

Переносимый трафик в эрлангах - это среднее количество одновременных вызовов, измеренное за определенный период (часто один час), а предлагаемый трафик - это трафик, который будет перенесен, если все попытки вызова будут успешными. На практике объем предлагаемого трафика будет зависеть от того, что произойдет с неотвеченными вызовами, когда все серверы заняты.

В 1946 году CCITT назвал международную единицу телефонного трафика эрлангом в честь Агнера Крарупа Эрланга . ^{[3] [4]} В своем анализе эффективного использования телефонных линий Эрланг вывел формулы для двух важных случаев, Erlang-B и Erlang-C, которые стали основополагающими результатами в инженерии телетрафика и теории очередей . Его результаты, которые используются до сих пор, связывают качество обслуживания с количеством доступных серверов. Обе формулы принимают предлагаемую нагрузку в качестве одного из своих основных входных параметров (в эрлангах), что часто выражается как скорость поступления вызова, умноженная на среднюю продолжительность вызова.

Отличительное допущение, лежащее в основе формулы Эрланга B, заключается в том, что нет очереди, поэтому, если все элементы службы уже используются, то вновь поступающий вызов будет заблокирован и впоследствии потерян. Формула дает вероятность этого. Напротив, формула Erlang C обеспечивает возможность неограниченной очереди и дает вероятность того, что новый вызов должен будет ждать в очереди из-за того, что все серверы используются. Формулы Эрланга применяются довольно широко, но они могут дать сбой, когда перегрузка особенно высока, вызывая повторные попытки неудачного трафика. Одним из способов учета повторных попыток при отсутствии очереди является метод Extended Erlang B.

Измерения трафика телефонной сети [ править ]

Когда используется для представления переносимого трафика, значение (которое может быть нецелым числом, например 43,5), за которым следует «эрланги», представляет среднее количество одновременных вызовов, передаваемых цепями (или другими элементами, предоставляющими услуги), где это среднее значение рассчитывается за некоторый разумный период время. Период, за который рассчитывается среднее значение, часто составляет один час, но могут использоваться более короткие периоды (например, 15 минут), если известно, что есть короткие всплески спроса и желательно измерение трафика, которое не маскирует эти всплески. Один эрланг переносимого трафика относится к одному ресурсу, который постоянно используется, или к двум каналам, каждый из которых используется пятьдесят процентов времени, и так далее. Например, если в офисе есть два телефонных оператора, которые все время заняты, это будет представлять два эрланга (2 E) трафика;или радиоканал, который постоянно занят в течение интересующего периода (например, один час), считается загруженным в 1 эрланг.

При использовании для описания предлагаемого трафика значение, за которым следуют «эрланги», представляет среднее количество одновременных вызовов, которые были бы переданы, если бы было неограниченное количество каналов (то есть, если бы попытки вызова, которые были сделаны, когда все каналы были в употреблении не было забраковано). Взаимосвязь между предлагаемым трафиком и переносимым трафиком зависит от конструкции системы и поведения пользователя. Три распространенные модели: (а) вызывающие абоненты, чьи попытки вызова были отклонены, уходят и никогда не возвращаются, (б) вызывающие абоненты, чьи попытки вызова отклонены, повторяют попытку в течение довольно короткого промежутка времени и (в) система позволяет пользователям ждать в очереди, пока канал не станет доступным.

Третье измерение трафика - это мгновенный трафик , выраженный в определенном количестве эрлангов, означающем точное количество вызовов, происходящих в определенный момент времени. В данном случае это целое число. Устройства записи уровня трафика, такие как записывающие устройства с подвижной ручкой, отображают мгновенный трафик.

Анализ Эрланга [ править ]

Концепции и математика, представленные Агнером Крарупом Эрлангом, имеют широкое применение за пределами телефонии. Они применяются везде, где пользователи прибывают более или менее случайным образом, чтобы получить эксклюзивную услугу от любого из группы предоставляющих услуги элементов без предварительного бронирования, например, когда предоставляющими услуги элементами являются окна продажи билетов, туалеты в самолете или номера в мотеле. (Модели Erlang неприменимы, если элементы, предоставляющие услуги, совместно используются несколькими одновременными пользователями или разные пользователи используют разные объемы услуг, например, в каналах, передающих трафик данных.)

Цель теории трафика Эрланга состоит в том, чтобы точно определить, сколько элементов, предоставляющих услуги, должно быть предоставлено, чтобы удовлетворить пользователей, без расточительного избыточного выделения ресурсов. Для этого устанавливается цель для уровня обслуживания (GoS) или качества обслуживания (QoS). Например, в системе, где нет очереди, GoS может заключаться в том, что не более 1 вызова из 100 заблокировано (т. Е. Отклонено) из-за того, что все каналы используются (GoS 0,01), что становится целевой вероятностью блокировки вызовов, P _b , при использовании формулы Эрланга B.

Существует несколько результирующих формул, включая Erlang B , Erlang C и соответствующую формулу Engset , основанных на различных моделях поведения пользователя и работы системы. Каждый из них может быть получен с помощью специального случая марковских процессов с непрерывным временем, известного как процесс рождения – смерти . Более поздний метод Extended Erlang B предоставляет дополнительное решение для трафика, основанное на результатах Erlang.

Расчет предлагаемого трафика [ править ]

Предлагаемый трафик (в эрлангах) связан со скоростью поступления вызова , λ , и средним временем удержания вызова (среднее время телефонного звонка), ч , следующим образом:

${\ displaystyle E = \ lambda h}$

при условии, что h и λ выражаются в одних и тех же единицах времени (секунды и звонки в секунду или минуты и звонки в минуту).

Практическое измерение трафика обычно основано на непрерывных наблюдениях в течение нескольких дней или недель, в течение которых мгновенный трафик регистрируется через регулярные короткие интервалы (например, каждые несколько секунд). Эти измерения затем используются для вычисления единственного результата, чаще всего трафика в часы наибольшей нагрузки (в эрлангах). Это среднее количество одновременных вызовов в течение определенного часового периода дня, когда этот период выбран для получения наивысшего результата. (Этот результат называется согласованным по времени трафиком в часы наибольшей нагрузки). Альтернативный вариант - рассчитать значение трафика в часы наибольшей нагрузки отдельно для каждого дня (которое может соответствовать немного разному времени каждый день) и взять среднее значение этих значений. Обычно это дает немного большее значение, чем согласованное по времени значение часа наибольшей нагрузки.

Если существующий переносимый трафик в час наибольшей нагрузки, E _c , измеряется в уже перегруженной системе со значительным уровнем блокировки, необходимо учитывать заблокированные вызовы при оценке предлагаемого трафика E _{o в} час наибольшей _{нагрузки} (который равен значение трафика, которое будет использоваться в формулах Эрланга). Предлагаемый трафик можно оценить как E _o = E _c / (1 -  P _b ). Для этой цели, если система включает средства подсчета заблокированных вызовов и успешных вызовов, P _b можно оценить непосредственно из доли заблокированных вызовов. В противном случае P _bможно оценить, используя E _c вместо E _o в формуле Эрланга, и полученную оценку P _b затем можно использовать в E _o = E _c / (1 -  P _b ) для получения первой оценки E _o .

Другой метод оценки E _o в перегруженной системе - это измерение скорости поступления вызовов в час наибольшей нагрузки, λ (подсчет успешных вызовов и заблокированных вызовов), и среднего времени удержания вызова (для успешных вызовов), h , а затем оценка E _o по формуле E = λh .

В ситуации, когда обрабатываемый трафик представляет собой совершенно новый трафик, единственный выход - попытаться смоделировать ожидаемое поведение пользователя. Например, можно оценить количество активных пользователей, N , ожидаемый уровень использования, U (количество звонков / транзакций на пользователя в день), коэффициент концентрации в час наибольшей нагрузки, C (доля ежедневной активности, приходящаяся на час наибольшей нагрузки). , и среднее время выдержки / время обслуживания, ч (выраженное в минутах). Прогноз предлагаемого трафика в час наибольшей нагрузки будет E _o =NUC/60ч  эрланги. (Деление на 60 переводит частоту поступления вызовов / транзакций в час наибольшей нагрузки в поминутное значение, чтобы соответствовать единицам, в которых выражается h .)

Формула Эрланга B [ править ]

Формула Эрланга B (или Эрланг-B с дефисом), также известная как формула потерь Эрланга , представляет собой формулу для вероятности блокировки, которая описывает вероятность потери вызовов для группы идентичных параллельных ресурсов (телефонные линии, каналы, трафик каналов или эквивалент), иногда называемый очередью M / M / c / c . ^[5] Он, например, используется для измерения каналов телефонной сети. Формула была получена Агнером Крарупом Эрлангом.и не ограничивается телефонными сетями, поскольку описывает вероятность в системе очередей (хотя и является особым случаем с несколькими серверами, но без места в очереди для входящих вызовов в ожидании свободного сервера). Следовательно, формула также используется в некоторых системах инвентаризации с упущенными продажами.

Формула применяется при условии, что неудачный вызов из-за занятости линии не ставится в очередь или повторяется, а вместо этого действительно исчезает навсегда. Предполагается, что попытки вызова прибывают после пуассоновского процесса , поэтому моменты поступления вызова независимы. Кроме того, предполагается, что длины сообщений (времена удержания) распределены экспоненциально (марковская система), хотя формула оказывается применимой при общих распределениях времени удержания.

Формула Эрланга B предполагает бесконечную совокупность источников (например, телефонных абонентов), которые совместно предлагают трафик N серверам (например, телефонным линиям). Скорость, выражающая частоту поступления новых вызовов, λ (рождаемость, интенсивность трафика и т. Д.), Постоянна и не зависит от количества активных источников. Предполагается, что общее количество источников бесконечно. Формула Эрланга B вычисляет вероятность блокировки системы с потерями без буфера, когда запрос, который не обслуживается немедленно, прерывается, что приводит к тому, что запросы не помещаются в очередь. Блокировка происходит, когда новый запрос поступает в то время, когда все доступные серверы в настоящее время заняты. Формула также предполагает, что заблокированный трафик очищен и больше не возвращается.

Формула предоставляет GoS ( уровень обслуживания ), который представляет собой вероятность P _{b того,} что новый вызов, поступающий в группу ресурсов, будет отклонен, потому что все ресурсы (серверы, линии, цепи) заняты: B ( E , m ), где E - это общий предложенный трафик в erlang, предложенный m идентичным параллельным ресурсам (серверам, каналам связи, полосам трафика).

${\displaystyle P_{b}=B(E,m)={\frac {\frac {E^{m}}{m!}}{\sum _{i=0}^{m}{\frac {E^{i}}{i!}}}}}$

где:

• ${\displaystyle P_{b}}$ вероятность блокировки
• m - количество идентичных параллельных ресурсов, таких как серверы, телефонные линии и т. д.
• E = λh - нормализованная входящая нагрузка (предлагаемый трафик указывается в эрлангах).

Примечание. Эрланг - это безразмерная единица нагрузки, рассчитываемая как средняя частота поступления вызовов λ, умноженная на среднее время удержания вызова, ч . См . Закон Литтла, чтобы доказать, что единица эрланга должна быть безразмерной, чтобы закон Литтла был размерно разумным.

Это может быть выражено рекурсивно ^[6] следующим образом в форме, которая используется для упрощения вычисления таблиц формулы Эрланга B:

${\displaystyle B(E,0)=1.\,}$

${\displaystyle B(E,j)={\frac {EB(E,j-1)}{EB(E,j-1)+j}}\ \forall {j}=1,2,\ldots ,m.}$

Как правило, вместо B ( E , m ) обратная величина 1 / B ( E , m ) вычисляется в численных вычислениях, чтобы обеспечить численную стабильность :

${\displaystyle {\frac {1}{B(E,0)}}=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{B(E,j)}}=1+{\frac {j}{E}}{\frac {1}{B(E,j-1)}}\ \forall {j}=1,2,\ldots ,m.}$

Функция  ErlangB  ( E  как  Double ,  m  как  целое )  как  Double  Dim  InvB  As  Double  Dim  j  As  Integer InvB  =  1.0  Для  j  =  1  To  m  InvB  =  1.0  +  InvB  *  j  /  E  Next  j  ErlangB  =  1.0  /  InvB End  Function

Формула Эрланга B убывающая и выпуклая по m . ^[7] Требуется, чтобы поступление вызовов можно было моделировать с помощью процесса Пуассона , что не всегда является хорошим совпадением, но справедливо для любого статистического распределения времени удержания вызовов с конечным средним значением. Это относится к системам передачи трафика, которые не буферизуют трафик. Более современные примеры по сравнению с POTS, где все еще применим Erlang B, - это оптическая пакетная коммутация (OBS) и несколько современных подходов к оптической коммутации пакетов.(OPS). Erlang B был разработан как инструмент определения размера соединительной линии для телефонных сетей со временем удержания в диапазоне минут, но, будучи математическим уравнением, он применим к любой временной шкале.

Расширенный Erlang B [ править ]

Расширенный Erlang B отличается от классических предположений Erlang-B тем, что часть заблокированных абонентов может повторить попытку, что приводит к увеличению предлагаемого трафика по сравнению с исходным базовым уровнем. Это итеративный расчет, а не формула, и он добавляет дополнительный параметр, коэффициент отзыва , который определяет попытки отзыва. ^[8]${\displaystyle R_{f}}$

Шаги в этом процессе следующие. ^[9] Он начинается с итерации с известным начальным базовым уровнем трафика , который последовательно корректируется для расчета последовательности новых предлагаемых значений трафика , каждое из которых учитывает отзывы, возникающие из ранее рассчитанного предлагаемого трафика .${\displaystyle k=0}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle E_{k+1}}$${\displaystyle E_{k}}$

1. Рассчитайте вероятность того, что звонящий будет заблокирован с первой попытки.

${\displaystyle P_{b}=B(E_{k},m)\,}$

как указано выше для Erlang B.

2. Рассчитайте вероятное количество заблокированных звонков.

${\displaystyle B_{e}=E_{k}P_{b}\,}$

3. Рассчитайте количество отзывов , принимая фиксированный коэффициент отзыва ,${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{f}}$

${\displaystyle R=B_{e}R_{f}\,}$

4. Рассчитайте новый предложенный трафик.

${\displaystyle E_{k+1}=E_{0}+R\,}$

где - начальный (базовый) уровень трафика.${\displaystyle E_{0}}$

5. Возврат к шагу 1, заменив на , и итерации , пока значение стабильной получается.${\displaystyle E_{k+1}}$${\displaystyle E_{k}}$${\displaystyle E}$

Как только удовлетворительное значение найдено, вероятность блокировки и коэффициент отзыва могут быть использованы для расчета вероятности того, что все попытки вызывающего абонента потеряны, не только их первый вызов, но и любые последующие попытки.${\displaystyle E}$${\displaystyle P_{b}}$

Формула Erlang C [ править ]

Формула Erlang C выражает вероятность того, что поступающий заказчик должен будет стоять в очереди (в отличие от немедленного обслуживания). ^[10] Так же, как формула Эрланга B, Эрланг C предполагает бесконечную совокупность источников, которые совместно предлагают трафик эрлангов серверам. Однако, если все серверы заняты, когда запрос поступает от источника, запрос ставится в очередь. Таким образом, в очереди одновременно может храниться неограниченное количество запросов. Эта формула вычисляет вероятность постановки в очередь предлагаемого трафика, предполагая, что заблокированные вызовы остаются в системе до тех пор, пока они не будут обработаны. Эта формула используется для определения количества агентов или представителей службы поддержки клиентов, необходимых для укомплектования колл-центра.${\displaystyle E}$${\displaystyle m}$, для указанной желаемой вероятности постановки в очередь. Однако формула Erlang C предполагает, что вызывающие абоненты никогда не вешают трубку, находясь в очереди, поэтому формула предсказывает, что следует использовать больше агентов, чем действительно необходимо для поддержания желаемого уровня обслуживания.

${\displaystyle P_{w}={{{\frac {E^{m}}{m!}}{\frac {m}{m-E}}} \over \left(\sum \limits _{i=0}^{m-1}{\frac {E^{i}}{i!}}\right)+{\frac {E^{m}}{m!}}{\frac {m}{m-E}}}\,}$

где:

• ${\displaystyle E}$ это общий предлагаемый трафик в единицах эрлангов
• ${\displaystyle m}$ количество серверов
• ${\displaystyle P_{w}}$ вероятность того, что клиенту придется ждать обслуживания.

Предполагается, что поступление вызовов может быть смоделировано пуассоновским процессом и что время удержания вызова описывается экспоненциальным распределением .

Ограничения формулы Эрланга [ править ]

Когда Erlang разработал уравнения трафика на Erlang-B и Erlang-C, они основывались на ряде допущений. Эти предположения верны в большинстве условий; однако в случае чрезвычайно высокой загруженности трафика уравнения Эрланга не могут точно предсказать правильное количество каналов, необходимых из-за повторно входящего трафика. Это называется системой с высокими потерями , в которой перегрузка порождает дальнейшую перегрузку в часы пик. В таких случаях сначала необходимо сделать доступным множество дополнительных цепей, чтобы можно было уменьшить большие потери. Как только это действие будет предпринято, перегрузка вернется к разумным уровням, и тогда уравнения Эрланга можно будет использовать для определения того, сколько именно цепей действительно требуется. ^[11]

Примером, который может привести к развитию такой системы с высокими потерями, может быть, если в телевизионной рекламе будет объявлен конкретный номер телефона, по которому нужно позвонить в определенное время. В этом случае по указанному номеру одновременно будет звонить большое количество людей. Если поставщик услуг не удовлетворил этот внезапный пиковый спрос, возникнет чрезмерная перегрузка трафика, и уравнения Эрланга нельзя будет использовать. ^[11]

См. Также [ править ]

• Спектральная эффективность системы (обсуждается пропускная способность сотовой сети в эрлангах / МГц / ячейка)
• АК Эрланг
• Колл-центр
• Дискретно-событийное моделирование
• Формула Энгсета
• Язык программирования Erlang
• Распределение Erlang
• распределение Пуассона
• Смешанный трафик

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• «Решение некоторых проблем теории вероятностей значимости в автоматических телефонных станциях» (PDF) . Электроткекникерен . 13 : 5. 1917. Архивировано из оригинального (PDF) 19 июля 2011 года.