Биномиальный процесс

Бином процесс представляет собой специальный точечный процесс в теории вероятностей .

Определение [ править ]

Позвольте быть вероятностным распределением и фиксированным натуральным числом. Пусть будет iid случайных величин с распределением , так что для всех .${\ displaystyle P}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X_ {i} \ sim P}$${\ Displaystyle я \ в \ {1,2, \ точки, п \}}$

Тогда биномиальный процесс, основанный на n и P, является случайной мерой

${\ displaystyle \ xi = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ delta _ {X_ {i}},}$

где ${\ displaystyle \ delta _ {X_ {i} (A)} = {\ begin {case} 1, & {\ text {if}} X_ {i} \ in A, \\ 0, & {\ text {иначе }}. \ end {case}}}$

Свойства [ править ]

Имя [ редактировать ]

Название биномиального процесса вытекает из того факта , что для всех измеримых множеств случайная величина следует за биномиальное распределение с параметрами и :${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ xi (А)}$${\ Displaystyle P (A)}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ xi (A) \ sim \ operatorname {Bin} (n, P (A)).}$

Преобразование Лапласа [ править ]

Преобразование Лапласа биномиального процесса дается формулой

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {P, n} (f) = \ left [\ int \ exp (-f (x)) \ mathrm {P} (dx) \ right] ^ {n}}$

для всех положительных измеримых функций .${\ displaystyle f}$

Измерение интенсивности [ править ]

Интенсивность мера из биномиального процесса задается${\ displaystyle \ operatorname {E} \ xi}$${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \operatorname {E} \xi =nP.}$

Обобщения [ править ]

Обобщением биномиальных процессов являются смешанные биномиальные процессы . В этих точечных процессах количество точек не является детерминированным, как в биномиальных процессах, а определяется случайной величиной . Следовательно, смешанные биномиальные процессы обусловлены биномиальными процессами, основанными на и .${\displaystyle K}$${\displaystyle K=n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P}$

Литература [ править ]

• Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Шпрингер. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.