В надежных статистиках и вычислительной геометрии , симплициальная глубина является мерой центральной тенденции , определяемых симплексами , которые содержат заданную точку. Для евклидовой плоскости он подсчитывает количество треугольников точек выборки, которые содержат данную точку.
Симплициальная глубина относительно шести красных точек выборки, используя модифицированное определение Burr et al. Большие черные числа - это глубины внутри каждой области, а маленькие синие числа - глубины вдоль синих отрезков линии.
Симплициальная глубина точки в -мерное евклидово пространство по отношению к набору выборочных точек в этом пространстве - это количество-мерные симплексы ( выпуклые оболочки множеств точки выборки), которые содержат . То же самое понятие можно обобщить на любое распределение вероятностей в точках плоскости, а не только на эмпирическое распределение, заданное набором точек выборки, путем определения глубины как вероятности того, что случайно выбранный-набор точек имеет выпуклую оболочку, содержащую. Эту вероятность можно вычислить, исходя из количества симплексов, содержащих, разделив на где - количество точек выборки. [L88] [L90]
Согласно стандартному определению симплициальной глубины симплексы, которые имеют на их границах учитываются так же, как и симплексы с в их интерьерах. Чтобы избежать проблематичного поведения этого определения, Burr, Rafalin & Souvaine (2004) предложили модифицированное определение симплициальной глубины, в котором симплексы сна их границах рассчитывают только вдвое меньше. Эквивалентно, их определение - это среднее количество открытых симплексов и количество замкнутых симплексов, содержащих. [BRS]
Симплициальная глубина устойчива к выбросам: если набор точек выборки представлен точкой максимальной глубины, то постоянная часть точек выборки может быть произвольно искажена без значительного изменения местоположения репрезентативной точки. Он также инвариантен относительно аффинных преобразований плоскости. [D] [ZS] [BRS]
Однако симплициальная глубина не обладает некоторыми другими желательными свойствами для устойчивых мер центральной тенденции. Применительно к центрально-симметричным распределениям не обязательно, чтобы в центре распределения была единственная точка максимальной глубины. И не обязательно, чтобы глубина симплициальной системы монотонно уменьшалась вдоль луча от точки максимальной глубины. [ZS] [BRS]
Для наборов точки выборки на евклидовой плоскости (), симплициальная глубина любой другой точки можно вычислить во времени , [KM] [GSW] [RR] оптимальны в некоторых моделях вычислений. [ACG] В трех измерениях одна и та же проблема может быть решена во времени. [CO]
Можно построить структуру данных с использованием ε-сетей, которые могут аппроксимировать симплициальную глубину точки запроса (с учетом либо фиксированного набора выборок, либо набора образцов, подвергающихся вставке точек) за почти постоянное время на запрос в любом измерении , с приближением, ошибка которого составляет небольшую часть от общего числа треугольников, определенных выборками. [BCE] В двух измерениях известен более точный алгоритм аппроксимации, для которого ошибка аппроксимации является небольшой кратной самой симплициальной глубине. Те же методы также приводят к алгоритмам быстрого приближения в более высоких измерениях. [ЖОПА]
Сферическая глубина , определяется как вероятность того, что точка содержится внутри случайного замкнутого гипербара, полученного из пары точек из. В то время как временная сложность большинства других глубин данных растет экспоненциально, сферическая глубина растет только линейно в измерении. - простой алгоритм вычисления сферической глубины занимает . Симплициальная глубина (SD) линейно ограничена сферической глубиной (). [BS]