Модель одновременных уравнений

Модели одновременных уравнений - это тип статистической модели, в которой зависимые переменные являются функциями других зависимых переменных, а не просто независимыми переменными. ^[1] Это означает, что некоторые объясняющие переменные определяются совместно с зависимой переменной, которая в экономике обычно является следствием некоего основного механизма равновесия . Например, в простой модели спроса и предложения цена и количество определяются совместно. ^[2]

Одновременность создает проблемы для оценки представляющих интерес статистических параметров, поскольку нарушается предположение Гаусса – Маркова о строгой экзогенности регрессоров. И хотя было бы естественно оценивать все одновременные уравнения сразу, это часто приводит к вычислительно затратной нелинейной задаче оптимизации даже для простейшей системы линейных уравнений . ^[3] Эта ситуация подтолкнула к разработке, возглавляемой Комиссией Коулза в 1940-х и 1950-х годах ^[4], различных методов, которые оценивают каждое уравнение в модели по порядку, в первую очередь с ограничением максимальной вероятности информации.и двухэтапный метод наименьших квадратов . ^[5]

Структурная и уменьшенная форма [ править ]

Предположим, что имеется m уравнений регрессии вида

{\ displaystyle y_ {it} = y _ {- i, t} '\ gamma _ {i} + x_ {it}' \; \! \ beta _ {i} + u_ {it}, \ quad i = 1, \ ldots, m,}

где i - номер уравнения, а t = 1, ..., T - индекс наблюдения. В этих уравнениях х _она является к _я × 1 вектор экзогенных переменных, у _него является зависимой переменной, у _{-i, т} является п _я × 1 вектор всех других эндогенных переменных , которые входят в я - ^е уравнение на право- сторона стороны, и u _это условия ошибки. Обозначение «- i » указывает, что вектор y _{−i, t} может содержать любой из y«S , за исключением у _{так ли} (так как она уже присутствует на стороне левой руки). Коэффициенты регрессии β _i и γ _i имеют размерности k _i × 1 и n _i × 1 соответственно. Сложив по вертикали T наблюдений, соответствующих i- ^му уравнению, мы можем записать каждое уравнение в векторной форме как

y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i},\quad i=1,\ldots ,m,

где y _i и u _i - векторы T × 1, X _i - матрица экзогенных регрессоров T × k _i , а Y _−i - матрица эндогенных регрессоров T × n _i в правой части i- ^го уравнения. . Наконец, мы можем переместить все эндогенные переменные в левую часть и записать m уравнений вместе в векторной форме как

Y\Gamma =X\mathrm {B} +U.\,

Это представление известно как структурная форма . В этом уравнении Y = [ y ₁ y ₂ ... y _m ] - матрица зависимых переменных размером T × m . Каждая из матриц У _-i в действительности является п _я -columned подматрица этого Y . М × м матрица Γ, которая описывает взаимосвязь между зависимыми переменными, имеет сложную структуру. Он имеет единицы на диагонали, а все остальные элементы каждого столбца i являются либо компонентами вектора −γ _iили нулей, в зависимости от того, какие столбцы Y были включены в матрицу Y _−i . T × K матрица X содержит все экзогенные регрессор из всех уравнений, но без повторений (то есть, матрица X должна иметь полный ранг). Таким образом, каждый Х _я являюсь к _я -columned подматрицы X . Матрица Β имеет размер k × m , и каждый из ее столбцов состоит из компонентов векторов β _i и нулей, в зависимости от того, какой из регрессоров из X был включен или исключен из X _i . Наконец, U= [ u ₁ u ₂ ... u _m ] - это матрица членов ошибок размером T × m .

Умножая структурное уравнение на Γ − ¹ , систему можно записать в приведенной форме как

Y=X\mathrm {B} \Gamma ^{-1}+U\Gamma ^{-1}=X\Pi +V.\,

Это уже простая общая линейная модель , и ее можно оценить, например, с помощью обычных наименьших квадратов . К сожалению, задача разложения оцененной матрицы на отдельные факторы Β и Γ ⁻¹ довольно сложна, и поэтому сокращенная форма больше подходит для прогнозирования, но не вывода. $\scriptstyle {\hat {\Pi }}$

Предположения [ править ]

Во-первых, ранг матрицы X экзогенных регрессоров должен быть равен k как в конечных выборках, так и в пределе T → ∞ (это более позднее требование означает, что в пределе выражение должно сходиться к невырожденной матрице размера k × k ) . Матрица Γ также считается невырожденной. $\scriptstyle {\frac {1}{T}}X'\!X$

Во-вторых, предполагается, что члены ошибки серийно независимы и одинаково распределены . То есть, если t- ^я строка матрицы U обозначена как u _{( t )} , то последовательность векторов { u _{( t )} } должна быть iid, с нулевым средним и некоторой ковариационной матрицей Σ (которая неизвестна). В частности, отсюда следует, что E [ U ] = 0 и E [ U′U ] = T Σ .

Наконец, для идентификации необходимы предположения.

Идентификация [ править ]

Условия идентификации требуют, чтобы система линейных уравнений была разрешима относительно неизвестных параметров.

Более конкретно, условие порядка , необходимое условие для идентификации, состоит в том, что для каждого уравнения $k i + n i \leq k$ , которое можно сформулировать как «количество исключенных экзогенных переменных больше или равно количеству включенных эндогенных переменных» .

Условие ранга , более сильное условие , которое необходимо и достаточно, является то , что ранг из $П я 0$ равно $п я$ , где $Π я 0$ является $(к - к I) \times п я$ матрицу , которая получается из $П$ путем вычеркивания тех , столбцы, соответствующие исключенным эндогенным переменным, и те строки, которые соответствуют включенным экзогенным переменным.

Использование ограничений перекрестного уравнения для идентификации [ править ]

В моделях с одновременными уравнениями наиболее распространенным методом достижения идентификации является наложение ограничений на параметры внутри уравнения. ^[6] Тем не менее, идентификация также возможна с использованием ограничений перекрестного уравнения.

Чтобы проиллюстрировать, как ограничения перекрестного уравнения могут использоваться для идентификации, рассмотрим следующий пример из Вулдриджа ^[6]

{\begin{aligned}y_{1}&=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{12}z_{2}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}\\y_{2}&=\gamma _{21}y_{1}+\delta _{21}z_{1}+\delta _{22}z_{2}+u_{2}\end{aligned}}

где z не коррелируют с u, а y - эндогенные переменные. Без дополнительных ограничений первое уравнение не идентифицируется, потому что нет исключенной экзогенной переменной. Второе уравнение просто идентифицируется, если $δ 13 \neq 0$ , что предполагается верным до конца обсуждения.

Теперь наложим ограничение на перекрестное уравнение $δ 12 = δ 22$ . Поскольку второе уравнение идентифицировано, мы можем рассматривать $δ 12$ как известное для целей идентификации. Тогда первое уравнение становится:

y_{1}-\delta _{12}z_{2}=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}

Затем мы можем использовать $(z 1, z 2, z 3) в$ качестве инструментов для оценки коэффициентов в приведенном выше уравнении, поскольку в правой части есть одна эндогенная переменная ( $y 2$ ) и одна исключенная экзогенная переменная ( $z 2$ ). Следовательно, ограничения перекрестного уравнения вместо ограничений внутри уравнения могут обеспечить идентификацию.

Оценка [ править ]

Двухэтапный метод наименьших квадратов (2SLS) [ править ]

Самый простой и наиболее распространенный метод оценки для модели одновременных уравнений - это так называемый двухэтапный метод наименьших квадратов ^[7], независимо разработанный Тейлом (1953) и Басманном (1957) . ^[8]^[9] Это метод «уравнение за уравнением», при котором эндогенные регрессоры в правой части каждого уравнения дополняются регрессорами X из всех других уравнений. Метод называется «двухэтапным», потому что он проводит оценку в два этапа: ^[7]

Шаг 1. Выполните регрессию Y _−i на X и получите предсказанные значения ;

\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}

Шаг 2 : Оценить γ _i , β _i с помощью обычной регрессии наименьших квадратов y _i on и X _i .

\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}

Если i- ^е уравнение в модели записать как

y_{i}={\begin{pmatrix}Y_{-i}&X_{i}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma _{i}\\\beta _{i}\end{pmatrix}}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i},

где Z _i - матрица T × ( n _i + k _i ) как эндогенных, так и экзогенных регрессоров в i- ^м уравнении, а δ _i - ( n _i + k _i ) -мерный вектор коэффициентов регрессии, тогда оценка 2SLS из б _я буду дан ^[7]

{\hat {\delta }}_{i}={\big (}{\hat {Z}}'_{i}{\hat {Z}}_{i}{\big )}^{-1}{\hat {Z}}'_{i}y_{i}={\big (}Z'_{i}PZ_{i}{\big )}^{-1}Z'_{i}Py_{i},

где Р = Х ( Х ' х ) ^-1Х ' является матрицей проекции на линейное пространство , натянутое на экзогенный регрессоры X .

Косвенный метод наименьших квадратов [ править ]

Косвенный метод наименьших квадратов - это подход в эконометрике, где коэффициенты в модели одновременных уравнений оцениваются из модели сокращенной формы с использованием обычных наименьших квадратов . ^[10]^[11] Для этого структурная система уравнений сначала преобразуется в приведенную форму. После оценки коэффициентов модель возвращается в структурную форму.

Ограниченная информация о максимальной вероятности (LIML) [ править ]

Метод максимального правдоподобия «ограниченной информации» был предложен М.А. Гиршиком в 1947 году ^[12] и формализован Т.В. Андерсоном и Х. Рубином в 1949 году. ^[13] Он используется, когда кто-то интересуется одновременной оценкой одного структурного уравнения ( отсюда и название ограниченной информации), скажем, для наблюдения i:

y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i}

Структурные уравнения для остальных эндогенных переменных Y _−i не конкретизируются, и они приведены в их сокращенной форме:

Y_{-i}=X\Pi +U_{-i}

Обозначения в этом контексте другие, чем для простого случая IV . Надо:

$Y_{-i}$ : Эндогенная (ые) переменная (ы).
$X_{-i}$ : Экзогенная (ые) переменная (ы)
$X$ : Инструмент (ы) (часто обозначается ) $Z$

Явная формула LIML: ^[14]

{\hat {\delta }}_{i}={\Big (}Z'_{i}(I-\lambda M)Z_{i}{\Big )}^{\!-1}Z'_{i}(I-\lambda M)y_{i},

где M = I - X ( X ′ X ) ⁻¹X ′ , а λ - наименьший характеристический корень матрицы:

{\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}{\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}^{\!-1}

где аналогично M _i = I - X _i ( X _i ′ X _i ) ⁻¹X _i ′ .

Другими словами, λ - это наименьшее решение обобщенной проблемы собственных значений , см. Theil (1971 , стр. 503):

{\Big |}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big |}=0

Оценщики класса K [ править ]

LIML - это частный случай оценок K-класса: ^[15]

{\hat {\delta }}={\Big (}Z'(I-\kappa M)Z{\Big )}^{\!-1}Z'(I-\kappa M)y,

с:

$\delta ={\begin{bmatrix}\beta _{i}&\gamma _{i}\end{bmatrix}}$
$Z={\begin{bmatrix}X_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}$

К этому классу относятся несколько оценщиков:

κ = 0: OLS
κ = 1: 2SLS. Обратите внимание, что в этом случае обычная матрица проекции 2SLS $I-\kappa M=I-M=P$
κ = λ: LIML
κ = λ - α (nK): оценка Фуллера (1977) . ^[16] Здесь K представляет количество инструментов, n - размер выборки, а α - положительная константа, которую необходимо указать. Значение α = 1 даст приблизительную несмещенную оценку. ^[15]

Трехэтапный метод наименьших квадратов (3SLS) [ править ]

Трехступенчатая оценка методом наименьших квадратов была введена Зеллнером и Тейлом (1962) . ^[17]^[18] Это можно рассматривать как частный случай многомерного уравнения GMM, где набор инструментальных переменных является общим для всех уравнений. ^[19] Если все регрессоры на самом деле предопределены, то 3SLS сводится к кажущимся несвязанными регрессиями (SUR). Таким образом, его также можно рассматривать как комбинацию двухэтапного метода наименьших квадратов (2SLS) с SUR.

Приложения в социальных науках [ править ]

В разных областях и дисциплинах модели одновременных уравнений применяются к различным наблюдаемым явлениям. Эти уравнения применяются, когда предполагается, что явления взаимно причинны. Классический пример - спрос и предложение в экономике . В других дисциплинах есть примеры, такие как оценка кандидатов и идентификация партии ^[20] или общественное мнение и социальная политика в политологии ; ^[21]^[22] дорожные инвестиции и спрос на путешествия в географии; ^[23], а также уровень образования и отцовство в социологии или демографии . ^[24]Модель одновременного уравнения требует теории взаимной причинности, которая включает в себя специальные особенности, если причинные эффекты должны оцениваться как одновременная обратная связь, в отличие от односторонних `` блоков '' уравнения, в которых исследователь интересуется причинным влиянием X на Y при сохранении причинного эффекта Y на X постоянным или когда исследователь знает точное количество времени, необходимое для возникновения каждого причинного эффекта, то есть длительность причинных лагов. Вместо запаздывающих эффектов одновременная обратная связь означает оценку одновременного и непрерывного воздействия X и Y друг на друга. Это требует теории, согласно которой причинные эффекты одновременны во времени или настолько сложны, что кажутся действующими одновременно; распространенный пример - настроение соседей по комнате. ^[25]Для оценки моделей с одновременной обратной связью также необходима теория равновесия - что X и Y находятся в относительно устойчивых состояниях или являются частью системы (общества, рынка, учебного заведения), которая находится в относительно стабильном состоянии. ^[26]

См. Также [ править ]

Общая линейная модель
На первый взгляд несвязанные регрессии
Уменьшенная форма
Проблема идентификации параметра

Ссылки [ править ]

^ Мартин, Вэнс; Херн, Стэн; Харрис, Дэвид (2013). Эконометрическое моделирование с использованием временных рядов . Издательство Кембриджского университета. п. 159. ISBN. 978-0-521-19660-4.
^ Маддала, GS; Лахири, Каджал (2009). Введение в эконометрику (Четвертое изд.). Вайли. С. 355–357. ISBN 978-0-470-01512-4.
^ Quandt, Ричард Э. (1983). «Вычислительные проблемы и методы». In Griliches, Z .; Intriligator, MD (ред.). Справочник по эконометрике . Том I. Северная Голландия. С. 699–764. ISBN 0-444-86185-8.
^ Христос, Карл Ф. (1994). «Вклад Комиссии Коулза в эконометрику в Чикаго, 1939–1955». Журнал экономической литературы . 32 (1): 30–59. JSTOR 2728422 .
^ Джонстон, Дж. (1971). «Методы одновременного уравнения: оценка». Эконометрические методы (второе изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 376–423. ISBN 0-07-032679-7.
^ a b Wooldridge, JM, Эконометрический анализ данных поперечного сечения и панелей, MIT Press, Cambridge, Mass.
^ a b c Грин, Уильям Х. (2002). Эконометрический анализ (5-е изд.). Прентис Холл. С. 398–99. ISBN 0-13-066189-9.
^ Basmann, RL (1957). «Обобщенный классический метод линейного оценивания коэффициентов в структурном уравнении». Econometrica . 25 (1): 77–83. DOI : 10.2307 / 1907743 . JSTOR 1907743 .
^ Theil, Анри (1971). Принципы эконометрики . Нью-Йорк: Джон Вили.
^ Парк, SB. (1974) «Об оценке косвенным методом наименьших квадратов системы одновременных уравнений», Канадский статистический журнал / La Revue Canadienne de Statistique , 2 (1), 75–82 JSTOR 3314964
^ Вайда, S .; Валко, П .; Годфри, KR (1987). «Прямые и косвенные методы наименьших квадратов в оценке параметров непрерывного времени». Automatica . 23 (6): 707–718. DOI : 10.1016 / 0005-1098 (87) 90027-6 .
^ Первое приложение Гиршик, Массачусетс; Хаавельмо, Трюгве (1947). «Статистический анализ спроса на продукты питания: примеры одновременной оценки структурных уравнений». Econometrica . 15 (2): 79–110. DOI : 10.2307 / 1907066 . JSTOR 1907066 .
^ Андерсон, TW; Рубин, Х. (1949). «Оценщик параметров одного уравнения в полной системе стохастических уравнений» . Анналы математической статистики . 20 (1): 46–63. DOI : 10.1214 / АОМ / 1177730090 . JSTOR 2236803 .
^ Amemiya, Такеши (1985). Продвинутая эконометрика . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. п. 235 . ISBN 0-674-00560-0.
^ а б Дэвидсон, Рассел; Маккиннон, Джеймс Г. (1993). Оценка и вывод в эконометрике . Издательство Оксфордского университета. п. 649. ISBN. 0-19-506011-3.
^ Фуллер, Уэйн (1977). «Некоторые свойства модификации оценщика ограниченной информации». Econometrica . 45 (4): 939–953. DOI : 10.2307 / 1912683 . JSTOR 1912683 .
^ Zellner, Арнольд ; Тейл, Анри (1962). «Трехэтапный метод наименьших квадратов: одновременное оценивание одновременных уравнений». Econometrica . 30 (1): 54–78. DOI : 10.2307 / 1911287 . JSTOR 1911287 .
^ Kmenta, Ян (1986). «Системные методы оценки» . Элементы эконометрики (второе изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. С. 695–701.
^ Hayashi, Фумио (2000). «Многоступенчатая GMM» . Эконометрика . Издательство Принстонского университета. С. 276–279.
^ Пейдж, Бенджамин I .; Джонс, Кэлвин К. (1979-12-01). «Взаимные эффекты политических предпочтений, партийной лояльности и голосования». Обзор американской политической науки . 73 (4): 1071–1089. DOI : 10.2307 / 1953990 . ISSN 0003-0554 . JSTOR 1953990 .
^ Wlezien, Кристофер (1995-01-01). «Общественность как термостат: динамика предпочтений в отношении расходов». Американский журнал политологии . 39 (4): 981–1000. DOI : 10.2307 / 2111666 . JSTOR 2111666 .
^ Breznau, Nate (2016-07-01). «Положительная отдача и равновесие: одновременная обратная связь между общественным мнением и социальной политикой» . Журнал политических исследований . 45 (4): 583–612. DOI : 10.1111 / psj.12171 . ISSN 1541-0072 .
^ Се, Ф .; Левинсон, Д. (01.05.2010). «Как трамваи сформировали пригороды: анализ причинно-следственной связи Грейнджера землепользования и транзита в городах-побратимах». Журнал экономической географии . 10 (3): 453–470. DOI : 10,1093 / СГЭ / lbp031 . ЛВП : 11299/179996 . ISSN 1468-2702 .
^ Марини, Маргарет Муни (1984-01-01). «Уровень образования женщин и время вступления в родительские права». Американский социологический обзор . 49 (4): 491–511. DOI : 10.2307 / 2095464 . JSTOR 2095464 .
^ Вонг, Чи-Сум; Закон, Кеннет С. (1999-01-01). «Проверка взаимных отношений с помощью нерекурсивных моделей структурного уравнения с использованием данных поперечного сечения». Организационные методы исследования . 2 (1): 69–87. DOI : 10.1177 / 109442819921005 . ISSN 1094-4281 .
^ 2013. «Динамика обратной стрелки: петли обратной связи и формирующее измерение». В моделировании структурных уравнений: второй курс , под редакцией Грегори Р. Хэнкока и Ральфа О. Мюллера, 2-е изд., 41–79. Шарлотта, Северная Каролина: Издательство информационного века

Дальнейшее чтение [ править ]

Астериу, Димитриос; Холл, Стивен Г. (2011). Прикладная эконометрика (второе изд.). Бейсингстоук: Пэлгрейв Макмиллан. п. 395. ISBN 978-0-230-27182-1.
Чоу, Грегори С. (1983). Эконометрика . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 117–121 . ISBN 0-07-010847-1.
Фомби, Томас Б .; Хилл, Р. Картер; Джонсон, Стэнли Р. (1984). «Модели одновременных уравнений». Продвинутые эконометрические методы . Нью-Йорк: Спрингер. С. 437–552. ISBN 0-387-90908-7.
Маддала, GS ; Лахири, Каджал (2009). «Модели одновременных уравнений». Введение в эконометрику (Четвертое изд.). Нью-Йорк: Вили. С. 355–400. ISBN 978-0-470-01512-4.
Рууд, Пол А. (2000). «Одновременные уравнения». Введение в классическую эконометрическую теорию . Издательство Оксфордского университета. С. 697–746. ISBN 0-19-511164-8.
Сарган, Денис (1988). Лекции по углубленной эконометрической теории . Оксфорд: Бэзил Блэквелл. С. 68–89. ISBN 0-631-14956-2.
Вулдридж, Джеффри М. (2013). «Модели одновременных уравнений». Вводная эконометрика (Пятое изд.). Юго-Западный. С. 554–582. ISBN 978-1-111-53104-1.

Внешние ссылки [ править ]

Лекция о задаче идентификации в 2МНКЕ и оценках на YouTube с помощью Mark Thoma

[1] Мартин, Вэнс; Херн, Стэн; Харрис, Дэвид (2013). Эконометрическое моделирование с использованием временных рядов . Издательство Кембриджского университета. п. 159. ISBN. 978-0-521-19660-4.

[2] Маддала, GS; Лахири, Каджал (2009). Введение в эконометрику (Четвертое изд.). Вайли. С. 355–357. ISBN 978-0-470-01512-4.

[3] Quandt, Ричард Э. (1983). «Вычислительные проблемы и методы». In Griliches, Z .; Intriligator, MD (ред.). Справочник по эконометрике . Том I. Северная Голландия. С. 699–764. ISBN 0-444-86185-8.

[4] Христос, Карл Ф. (1994). «Вклад Комиссии Коулза в эконометрику в Чикаго, 1939–1955». Журнал экономической литературы . 32 (1): 30–59. JSTOR 2728422 .

[5] Джонстон, Дж. (1971). «Методы одновременного уравнения: оценка». Эконометрические методы (второе изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 376–423. ISBN 0-07-032679-7.

[Woolridge-6] Wooldridge, JM, Эконометрический анализ данных поперечного сечения и панелей, MIT Press, Cambridge, Mass.

[Greene_2003_loc=p._399-7] Грин, Уильям Х. (2002). Эконометрический анализ (5-е изд.). Прентис Холл. С. 398–99. ISBN 0-13-066189-9.

[8] Basmann, RL (1957). «Обобщенный классический метод линейного оценивания коэффициентов в структурном уравнении». Econometrica . 25 (1): 77–83. DOI : 10.2307 / 1907743 . JSTOR 1907743 .

[9] Theil, Анри (1971). Принципы эконометрики . Нью-Йорк: Джон Вили.

[10] Парк, SB. (1974) «Об оценке косвенным методом наименьших квадратов системы одновременных уравнений», Канадский статистический журнал / La Revue Canadienne de Statistique , 2 (1), 75–82 JSTOR 3314964

[11] Вайда, S .; Валко, П .; Годфри, KR (1987). «Прямые и косвенные методы наименьших квадратов в оценке параметров непрерывного времени». Automatica . 23 (6): 707–718. DOI : 10.1016 / 0005-1098 (87) 90027-6 .

[12] Первое приложение Гиршик, Массачусетс; Хаавельмо, Трюгве (1947). «Статистический анализ спроса на продукты питания: примеры одновременной оценки структурных уравнений». Econometrica . 15 (2): 79–110. DOI : 10.2307 / 1907066 . JSTOR 1907066 .

[13] Андерсон, TW; Рубин, Х. (1949). «Оценщик параметров одного уравнения в полной системе стохастических уравнений» . Анналы математической статистики . 20 (1): 46–63. DOI : 10.1214 / АОМ / 1177730090 . JSTOR 2236803 .

[14] Amemiya, Такеши (1985). Продвинутая эконометрика . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. п. 235 . ISBN 0-674-00560-0.

[DavidsonMacKinnon649-15] а б Дэвидсон, Рассел; Маккиннон, Джеймс Г. (1993). Оценка и вывод в эконометрике . Издательство Оксфордского университета. п. 649. ISBN. 0-19-506011-3.

[16] Фуллер, Уэйн (1977). «Некоторые свойства модификации оценщика ограниченной информации». Econometrica . 45 (4): 939–953. DOI : 10.2307 / 1912683 . JSTOR 1912683 .

[17] Zellner, Арнольд ; Тейл, Анри (1962). «Трехэтапный метод наименьших квадратов: одновременное оценивание одновременных уравнений». Econometrica . 30 (1): 54–78. DOI : 10.2307 / 1911287 . JSTOR 1911287 .

[18] Kmenta, Ян (1986). «Системные методы оценки» . Элементы эконометрики (второе изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. С. 695–701.

[19] Hayashi, Фумио (2000). «Многоступенчатая GMM» . Эконометрика . Издательство Принстонского университета. С. 276–279.

[20] Пейдж, Бенджамин I .; Джонс, Кэлвин К. (1979-12-01). «Взаимные эффекты политических предпочтений, партийной лояльности и голосования». Обзор американской политической науки . 73 (4): 1071–1089. DOI : 10.2307 / 1953990 . ISSN 0003-0554 . JSTOR 1953990 .

[21] Wlezien, Кристофер (1995-01-01). «Общественность как термостат: динамика предпочтений в отношении расходов». Американский журнал политологии . 39 (4): 981–1000. DOI : 10.2307 / 2111666 . JSTOR 2111666 .

[22] Breznau, Nate (2016-07-01). «Положительная отдача и равновесие: одновременная обратная связь между общественным мнением и социальной политикой» . Журнал политических исследований . 45 (4): 583–612. DOI : 10.1111 / psj.12171 . ISSN 1541-0072 .

[23] Се, Ф .; Левинсон, Д. (01.05.2010). «Как трамваи сформировали пригороды: анализ причинно-следственной связи Грейнджера землепользования и транзита в городах-побратимах». Журнал экономической географии . 10 (3): 453–470. DOI : 10,1093 / СГЭ / lbp031 . ЛВП : 11299/179996 . ISSN 1468-2702 .

[24] Марини, Маргарет Муни (1984-01-01). «Уровень образования женщин и время вступления в родительские права». Американский социологический обзор . 49 (4): 491–511. DOI : 10.2307 / 2095464 . JSTOR 2095464 .

[25] Вонг, Чи-Сум; Закон, Кеннет С. (1999-01-01). «Проверка взаимных отношений с помощью нерекурсивных моделей структурного уравнения с использованием данных поперечного сечения». Организационные методы исследования . 2 (1): 69–87. DOI : 10.1177 / 109442819921005 . ISSN 1094-4281 .

[26] 2013. «Динамика обратной стрелки: петли обратной связи и формирующее измерение». В моделировании структурных уравнений: второй курс , под редакцией Грегори Р. Хэнкока и Ральфа О. Мюллера, 2-е изд., 41–79. Шарлотта, Северная Каролина: Издательство информационного века

[1]