Модель одновременных уравнений
Модели одновременных уравнений представляют собой тип статистической модели, в которой зависимые переменные являются функциями других зависимых переменных, а не только независимыми переменными. [1] Это означает, что некоторые объясняющие переменные определяются совместно с зависимой переменной, которая в экономике обычно является следствием некоторого лежащего в основе механизма равновесия . Возьмем типичную модель спроса и предложения : хотя обычно количество предложения и спроса определяется как функция цены, установленной рынком, возможно и обратное, когда производители наблюдают за количеством, которое требуют потребители.а затем установить цену. [2]
Одновременность создает проблемы для оценки интересующих статистических параметров, поскольку нарушается предположение Гаусса-Маркова о строгой экзогенности регрессоров. И хотя было бы естественно оценивать все одновременные уравнения сразу, это часто приводит к вычислительно затратной задаче нелинейной оптимизации даже для простейшей системы линейных уравнений . [3] Эта ситуация побудила к разработке, возглавляемой Комиссией Коулза в 1940-х и 1950-х годах, [4] различных методов, которые оценивают каждое уравнение в модели последовательно, в первую очередь ограниченную информацию о максимальном правдоподобии .и двухэтапный метод наименьших квадратов . [5]
где i — номер уравнения, t = 1,..., T — индекс наблюдения. В этих уравнениях x — это вектор k i × 1 экзогенных переменных, y — зависимая переменная, y −i,t — вектор n i × 1 всех остальных эндогенных переменных, которые входят в i -е уравнение справа: сторона стороны, и u это условия ошибки. Обозначение «− i » указывает, что вектор y −i,t может содержать любой из y, за исключением y it (поскольку он уже присутствует в левой части). Коэффициенты регрессии β i и γ i имеют размеры k i × 1 и n i × 1 соответственно. Вертикально складывая T наблюдений, соответствующих i -му уравнению, мы можем записать каждое уравнение в векторной форме как
где y i и u i — векторы размера T × 1, X i — матрица экзогенных регрессоров T × k i , а Y −i — матрица эндогенных регрессоров T × n i в правой части i -го уравнения . Наконец, мы можем переместить все эндогенные переменные в левую часть и записать m уравнений вместе в векторной форме как
Это представление известно как структурная форма . В этом уравнении Y = [ y 1 y 2 ... y m ] — матрица T×m зависимых переменных. Каждая из матриц Y −i на самом деле является подматрицей с n i -столбцами этой Y . Матрица размера m×m Γ, описывающая связь между зависимыми переменными, имеет сложную структуру. У него есть единицы на диагонали, а все остальные элементы каждого столбца i являются либо компонентами вектора −γ iили нулями, в зависимости от того, какие столбцы Y были включены в матрицу Y − i . Матрица T×k X содержит все экзогенные регрессоры из всех уравнений, но без повторений (то есть матрица X должна быть полного ранга). Таким образом, каждая X i является подматрицей с k i столбцами матрицы X . Матрица В имеет размер k×m , и каждый ее столбец состоит из компонент векторов β i и нулей в зависимости от того, какие из регрессоров из X были включены или исключены из X i . Наконец, У= [ u 1 u 2 ... um ] является матрицей T×m членов ошибки.
Это уже простая общая линейная модель , и ее можно оценить, например, обычным методом наименьших квадратов . К сожалению, задача разложения оцениваемой матрицы на отдельные факторы В и Г - 1 достаточно сложна, и поэтому редуцированная форма больше подходит для предсказания, а не вывода.
