В математике , условие Слейтера (или условие Слейтера ) является достаточным условием для сильной двойственности в трюм для выпуклой задачи оптимизации , названной в честь Мортона Л. Слейтер. [1] Неформально условие Слейтера гласит, что допустимая область должна иметь внутреннюю точку (см. Технические детали ниже).
Условие Слейтера - это конкретный пример квалификации ограничения . [2] В частности, если условие Слейтера выполняется для прямой задачи , то разрыв двойственности равен 0, а если двойственное значение конечно, то оно достигается. [3]
Формулировка
Рассмотрим проблему оптимизации
где - выпуклые функции . Это пример выпуклого программирования .
Словом, условие Слейтера для выпуклого программирования утверждает, что сильная двойственность имеет место, если такой, что строго выполнимо (т. е. все ограничения выполняются, а нелинейные ограничения удовлетворяются строгими неравенствами).
Математически условие Слейтера утверждает, что сильная двойственность имеет место, если существует (где relint обозначает относительную внутренность выпуклого множества) такие, что
- (выпуклые, нелинейные ограничения)
- [4]
Обобщенные неравенства
Учитывая проблему
где выпуклый и является -выпуклый для каждого . Тогда условие Слейтера гласит, что если существует такой, что
- а также
тогда сохраняется сильная двойственность. [4]
Рекомендации
- ^ Слейтер, Мортон (1950). Возвращение к множителям Лагранжа (PDF) . Дискуссионный документ комиссии Коулза № 403 (отчет). Перепечатано в Джорджи, Джорджио; Кьельдсен, Тинне Хофф, ред. (2014). Следы и появление нелинейного программирования . Базель: Биркхойзер. С. 293–306. ISBN 978-3-0348-0438-7.
- ^ Такаяма, Акира (1985). Математическая экономика . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 66–76 . ISBN 0-521-25707-7.
- ^ Борвейн, Джонатан; Льюис, Адриан (2006). Выпуклый анализ и нелинейная оптимизация: теория и примеры (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-29570-4.
- ^ а б Бойд, Стивен; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация (pdf) . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83378-3. Проверено 3 октября 2011 года .