В математике , то уравнение Томаса-Ферми для нейтрального атома второго порядка нелинейного обыкновенное дифференциальное уравнение , названное в честь Луэллина Томаса и Энрико Ферми , [1] [2] , который может быть получен путем применения модели Томаса-Ферми для атомов . Уравнение гласит
с учетом граничных условий
Если приближается к нулю, когда становится большим, это уравнение моделирует распределение заряда нейтрального атома как функцию радиуса . Решения, где обращается в нуль при конечном моделируют положительные ионы. [3] Для решений, где становится большим и положительным по мере того, как становится большим, его можно интерпретировать как модель сжатого атома, где заряд сжат в меньшее пространство. В этом случае атом заканчивается на значении для которого . [4] [5]
Трансформации
Представляем трансформацию преобразует уравнение в
Это уравнение аналогично уравнению Лейна – Эмдена с индексом политропы.кроме разницы в знаках. Исходное уравнение инвариантно относительно преобразования. Следовательно, уравнение можно сделать равноразмерным, введя в уравнение, что приводит к
так что замена сводит уравнение к
Если тогда приведенное выше уравнение становится
Но это уравнение первого порядка не имеет известного явного решения, поэтому подход обращается либо к численным, либо к приближенным методам.
Приближение Зоммерфельда
Уравнение имеет частное решение , который удовлетворяет граничному условию в виде , но не граничное условие y (0) = 1. Это конкретное решение
Арнольд Зоммерфельд использовал это конкретное решение и представил приближенное решение, которое может удовлетворять другому граничному условию в 1932 году. [6] Если преобразование вводится, уравнение принимает вид
Частное решение в преобразованной переменной тогда . Итак, предполагается решение вида и если это подставить в приведенное выше уравнение и коэффициенты приравниваются, получаем значение для , которая задается корнями уравнения . Два корня. Поскольку это решение уже удовлетворяет второму граничному условию, для удовлетворения первого граничного условия запишем
Первое граничное условие будет выполнено, если в виде . Это условие выполняется, если и с тех пор , Зоммерфельд нашел приближение как . Следовательно, приближенное решение
Это решение точно предсказывает правильное решение для больших , но по-прежнему терпит неудачу возле начала координат.
Решение рядом с происхождением
Энрико Ферми [7] предложил решение дляи позже расширен Бейкером. [8] Следовательно, для,
Подход Майораны
Эспозито сообщил [11], что итальянский физик Этторе Майорана нашел в 1928 году полуаналитическое рядовое решение уравнения Томаса – Ферми для нейтрального атома, которое, однако, оставалось неопубликованным до 2001 года.
Используя этот подход, можно вычислить константу B, упомянутую выше, с практически произвольно высокой точностью; например, его значение для 100 цифр равно.
Рекомендации
- ^ Дэвис, Гарольд Тайер. Введение в нелинейные дифференциальные и интегральные уравнения. Курьерская корпорация, 1962 год.
- ↑ Бендер, Карл М. и Стивен А. Орзаг. Передовые математические методы для ученых и инженеров I: Асимптотические методы и теория возмущений. Springer Science & Business Media, 2013.
- ↑ pp. 9-12, NH March (1983). «1. Истоки - теория Томаса – Ферми». В S. Lundqvist и NH March. Теория неоднородного электронного газа. Пленум Пресс. ISBN 978-0-306-41207-3 .
- Перейти ↑ March 1983, p. 10, рисунок 1.
- ^ стр. 1562, г. Фейнман, Р.П .; Метрополис, N .; Теллер, Э. (1949-05-15). "Уравнения состояния элементов на основе обобщенной теории Ферми-Томаса" (PDF) . Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 75 (10): 1561–1573. Полномочный код : 1949PhRv ... 75.1561F . DOI : 10.1103 / Physrev.75.1561 . ISSN 0031-899X .
- ^ Зоммерфельд, А. "Интеграция asintotica dell'equazione Differenziale di Thomas-Fermi". Ренд. Р. Accademia dei Lincei 15 (1932): 293.
- ^ Ферми, Э. (1928). "Eine statistische Methode zur Bestimmung einiger Eigenschaften des Atoms und ihre Anwendung auf die Theorie des periodischen Systems der Elemente". Zeitschrift für Physik (на немецком языке). ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 48 (1–2): 73–79. Bibcode : 1928ZPhy ... 48 ... 73F . DOI : 10.1007 / bf01351576 . ISSN 1434-6001 .
- ^ Бейкер, Эдвард Б. (1930-08-15). «Применение статистической модели Ферми-Томаса к расчету распределения потенциала в положительных ионах». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 36 (4): 630–647. Bibcode : 1930PhRv ... 36..630B . DOI : 10.1103 / Physrev.36.630 . ISSN 0031-899X .
- ^ Комментарий к: «Серийное решение уравнения Томаса – Ферми» [Phys. Lett. 365 (2007) 111], Франсиско M.Fernández, Физика Буквы A 372 , 28 июля 2008, 5258-5260, DOI : 10.1016 / j.physleta.2008.05.071 .
- ^ Аналитическое решение уравнения Томаса-Ферми для нейтрального атома, Г. И. Plindov и С. К. Pogrebnya, Журнал физики B: атомной и молекулярной физики 20 (1987), L547, DOI : 10,1088 / 0022-3700 / 20/17/001 .
- ^ Эспозито, Сальваторе (2002). «Решение Майорана уравнения Томаса-Ферми». Американский журнал физики . 70 (8): 852–856. arXiv : физика / 0111167 . Bibcode : 2002AmJPh..70..852E . DOI : 10.1119 / 1.1484144 .