В астрофизике , то уравнение Лейн-Эмден является безразмерной формой уравнения Пуассона для гравитационного потенциала ньютоновской самогравитирующего, сферически симметричной, политропной жидкости. Он назван в честь астрофизиков Джонатана Гомера Лейна и Роберта Эмдена . [1] Уравнение гласит
где - безразмерный радиус и связана с плотностью и, следовательно, с давлением, соотношением для центральной плотности . Индекс - показатель политропы, входящий в уравнение политропы состояния,
где а также - давление и плотность соответственно, - константа пропорциональности. Стандартные граничные условия: а также . Таким образом, решения описывают изменение давления и плотности с радиусом и известны как политропы индекса. Если вместо политропной жидкости используется изотермическая жидкость (индекс политропы стремится к бесконечности), получается уравнение Эмдена – Чандрасекара .
Приложения
Физически гидростатическое равновесие связывает градиент потенциала, плотность и градиент давления, тогда как уравнение Пуассона связывает потенциал с плотностью. Таким образом, если у нас есть дополнительное уравнение, которое определяет, как давление и плотность изменяются относительно друг друга, мы можем прийти к решению. Конкретный выбор политропного газа, как указано выше, делает математическую постановку проблемы особенно сжатой и приводит к уравнению Лейна – Эмдена. Уравнение является полезным приближением для самогравитирующих сфер плазмы, таких как звезды, но обычно это довольно ограничивающее предположение.
Вывод
Из гидростатического равновесия
Рассмотрим самогравитирующую сферически-симметричную жидкость в гидростатическом равновесии . Масса сохраняется и, таким образом, описывается уравнением неразрывности
где является функцией . Уравнение гидростатического равновесия имеет вид
где также является функцией . Снова дифференциация дает
где уравнение неразрывности использовалось для замены градиента массы. Умножая обе стороны на и сбор производных от слева можно написать
Разделив обе стороны на дает в некотором смысле размерную форму искомого уравнения. Если дополнительно подставить политропное уравнение состояния на а также , у нас есть
Сбор констант и подстановка , где
у нас есть уравнение Лейна – Эмдена,
Из уравнения Пуассона
Точно так же можно начать с уравнения Пуассона ,
Можно заменить градиент потенциала, используя гидростатическое равновесие, через
что снова дает размерную форму уравнения Лейна – Эмдена.
Точные решения
При заданном значении индекса политропы , обозначим решение уравнения Лейна – Эмдена как . В общем, уравнение Лейна – Эмдена необходимо решить численно, чтобы найти. Существуют точные аналитические решения для некоторых значений, в частности: . Для между 0 и 5, решения являются непрерывными и конечными по протяженности с радиусом звезды, заданным формулой , где .
Для данного решения профиль плотности определяется выражением
- .
Общая масса модельной звезды можно найти, интегрировав плотность по радиусу от 0 до .
Давление можно найти с помощью политропного уравнения состояния: , т.е.
Наконец, если газ идеален , уравнение состояния имеет вид, где - постоянная Больцмана исредний молекулярный вес. Тогда температурный профиль определяется выражением
В сферически-симметричных случаях уравнение Лейна – Эмдена интегрируемо только для трех значений индекса политропы .
Для n = 0
Если , уравнение принимает вид
Однажды перекомпоновка и интеграция дает
Разделив обе стороны на и снова интегрирование дает
Граничные условия а также следует, что константы интегрирования равны а также . Следовательно,
Для n = 1
Когда , уравнение можно разложить в виде
Предполагается, что решение по силовой серии:
Это приводит к рекурсивному соотношению для коэффициентов разложения:
Это соотношение может быть разрешено, приводя к общему решению:
Граничное условие для физического политропа требует, чтобы в виде . Для этого необходимо, чтобы, что приводит к решению:
Для n = 5
Начнем с уравнения Лейна – Эмдена:
Переписывание для производит:
Дифференцирование по ξ приводит к:
Уменьшено, мы получаем:
Следовательно, уравнение Лейна – Эмдена имеет решение
когда . Это решение имеет конечную массу, но бесконечную радиальную протяженность, и поэтому полная политропа не является физическим решением. Чандрасекар долгое время считал, что найти другое решение для «сложен и включает эллиптические интегралы».
Решение Шриваставы
В 1962 году Самбхунатх Шривастава нашел явное решение, когда . [2] Его решение дается
и из этого решения семейство решений можно получить с помощью преобразования гомологии. Поскольку это решение не удовлетворяет условиям в начале координат (фактически, оно является осциллирующим с неограниченным возрастанием амплитуд по мере приближения к началу координат), это решение можно использовать в составных моделях звезд.
Аналитические решения
В приложениях основную роль играют аналитические решения, которые выражаются сходящимися степенными рядами, разложенными вокруг некоторой начальной точки. Обычно точка расширения, которая также является особой точкой (фиксированной сингулярностью) уравнения, и имеются некоторые начальные данные в центре звезды. Можно доказать [3] [4], что уравнение имеет сходящийся степенной ряд / аналитическое решение около начала координат формы
.
Радиус сходимости этого ряда ограничен из - за существование [4] [6] из двух особенностей на мнимой оси в комплексной плоскости . Эти особенности расположены симметрично относительно начала координат. Их положение меняется при изменении параметров уравнения и начального условия, и поэтому они называются подвижными особенностями из-за классификации особенностей нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений на комплексной плоскости Полем Пенлеве . Подобная структура особенностей появляется в других нелинейных уравнениях, которые возникают в результате редукции оператора Лапласа к сферической симметрии, например, в уравнении изотермической сферы. [6]
Аналитические решения могут быть расширены вдоль реальной линии с помощью процедуры аналитического продолжения , в результате чего будет получен полный профиль ядер звезд или молекулярных облаков . Два аналитических решения с перекрывающимися кругами сходимости также могут быть согласованы на перекрытии с решением большей области, что является обычно используемым методом построения профилей требуемых свойств.
Решение ряда также используется при численном интегрировании уравнения. Он используется для небольшого смещения начальных данных для аналитического решения от начала координат, поскольку в начале координат численные методы не работают из-за особенности уравнения.
Численные решения
Как правило, решения находятся путем численного интегрирования. Многие стандартные методы требуют, чтобы задача формулировалась в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка . Например, [7]
Здесь, интерпретируется как безразмерная масса, определяемая . Соответствующие начальные условия: а также . Первое уравнение представляет собой гидростатическое равновесие, а второе - сохранение массы.
Гомологические переменные
Гомологически-инвариантное уравнение
Известно, что если является решением уравнения Лейна – Эмдена, то так же и . [8] Решения, которые связаны таким образом, называются гомологичными ; процесс, который их преобразует, является гомологией . Если выбрать переменные, инвариантные по отношению к гомологиям, то мы можем уменьшить порядок уравнения Лейна – Эмдена на единицу.
Существует множество таких переменных. Подходящий выбор
а также
Мы можем дифференцировать логарифмы этих переменных по , который дает
а также
- .
Наконец, мы можем разделить эти два уравнения, чтобы исключить зависимость от , который оставляет
Теперь это одно уравнение первого порядка.
Топология гомологически-инвариантного уравнения
Гомологически инвариантное уравнение можно рассматривать как автономную пару уравнений
а также
Поведение решений этих уравнений можно определить с помощью линейного анализа устойчивости. Критические точки уравнения (где), а собственные значения и собственные векторы матрицы Якоби приведены в таблице ниже. [9]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Лейн, Джонатан Гомер (1870). «О теоретической температуре Солнца, в соответствии с гипотезой о газовой массе, поддерживающей свой объем за счет своего внутреннего тепла, и в зависимости от законов газов, известных в земном эксперименте» . Американский журнал науки . 2. 50 (148): 57–74. Bibcode : 1870AmJS ... 50 ... 57L . DOI : 10,2475 / ajs.s2-50.148.57 . ISSN 0002-9599 . S2CID 131102972 .
- ^ Шривастава, Шамбунатх (1962). "Новое решение уравнения Лейна-Эмдена индекса n = 5". Астрофизический журнал . 136 : 680. Bibcode : 1962ApJ ... 136..680S . DOI : 10.1086 / 147421 . ISSN 0004-637X .
- ^ Кисия, Радослав Антони (2020). "Возмущенные уравнения Лейна – Эмдена как краевая задача с сингулярными концами" . Журнал динамических и управляющих систем . 26 (2): 333–347. DOI : 10.1007 / s10883-019-09445-6 . ISSN 1079-2724 .
- ^ а б Хантер, К. (2001-12-11). «Серийные решения для политроп и изотермической сферы» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 328 (3): 839–847. Bibcode : 2001MNRAS.328..839H . DOI : 10.1046 / j.1365-8711.2001.04914.x . ISSN 0035-8711 .
- ^ Кисия, Радослав Антони; Филипук, Галина (2015), Митюшев, Владимир В .; Ружанский, Майкл В. (ред.), «Об особенностях уравнений типа Эмдена – Фаулера» , Современные тенденции в анализе и их приложениях , Cham: Springer International Publishing, стр. 93–99, doi : 10.1007 / 978-3 -319-12577-0_13 , ISBN 978-3-319-12576-3, получено 19 июля 2020
- ^ а б Кисия, Радослав Антони; Филипук, Галина (2015). «Об обобщенных уравнениях Эмдена – Фаулера и изотермических сфер» . Прикладная математика и вычисления . 265 : 1003–1010. DOI : 10.1016 / j.amc.2015.05.140 .
- ^ Хансен, Карл Дж .; Кавалер, Стивен Д .; Тримбл, Вирджиния (2004). Звездные недра: физические принципы, структура и эволюция . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. п. 338. ISBN 9780387200897.
- ^ Чандрасекар, Субраманян (1957) [1939]. Введение в изучение звездной структуры . Дувр. Bibcode : 1939isss.book ..... C . ISBN 978-0-486-60413-8.
- ^ Хоредт, Георг П. (1987). «Топология уравнения Лейна-Эмдена». Астрономия и астрофизика . 117 (1-2): 117-130. Бибкод : 1987A & A ... 177..117H . ISSN 0004-6361 .
дальнейшее чтение
- Хоредт, Георг П. (2004). Политропы - приложения в астрофизике и смежных областях . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers . ISBN 978-1-4020-2350-7.
- Дэвид, Гарольд Т. (2010). Введение в нелинейные дифференциальные и интегральные уравнения . Dover Publications . ISBN 978-0486609713.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Дифференциальное уравнение Лейна-Эмдена" . MathWorld .