В астрофизике , белый карлик уравнение Чандрасекара является начальным значением обыкновенного дифференциальное уравнения введена индийским американским астрофизиком Субраманьян чандрасекаровского , [1] в своем исследовании гравитационного потенциала полностью вырожденных белых карликовых звезд. Уравнение читается как [2]
с начальными условиями
где измеряет плотность белого карлика, - безразмерное радиальное расстояние от центра и- константа, связанная с плотностью белого карлика в центре. Граница уравнения определяется условием
так что диапазон становится . Это условие эквивалентно тому, что плотность равна нулю при.
Вывод
Из квантовой статистики полностью вырожденного электронного газа (все нижние квантовые состояния заняты) давление и плотность белого карлика определяются выражением
где
где - средний молекулярный вес газа. Когда это подставляется в уравнение гидростатического равновесия
где является гравитационной постоянной и - радиальное расстояние, получаем
и позволяя , у нас есть
Если обозначить плотность в начале координат как , то безразмерный масштаб
дает
где . Другими словами, как только вышеприведенное уравнение решено, плотность определяется как
Затем можно рассчитать внутреннюю массу до указанной точки.
Отношение радиуса к массе белого карлика обычно строят на плоскости -.
Решение около начала координат
По соседству с источником, , Чандрасекар представил асимптотическое разложение как
где . Он также предоставил численные решения для диапазона.
Уравнение для малых центральных плотностей
Когда центральная плотность мала, уравнение можно свести к уравнению Лейна-Эмдена , введя
чтобы получить в начальном порядке следующее уравнение
подвергнутый условиям а также . Обратите внимание, что хотя уравнение сводится к уравнению Лейна-Эмдена с индексом политропы, начальное условие не является условием уравнения Лейна-Эмдена.
Предельная масса для больших центральных плотностей
Когда центральная плотность становится большой, т. Е. или эквивалентно , основное уравнение сводится к
подвергнутый условиям а также . Это в точности уравнение Лейна-Эмдена с индексом политропы. Обратите внимание, что в этом пределе больших плотностей радиус
стремится к нулю. Однако масса белого карлика стремится к конечному пределу.
Предел Чандрасекара следует из этого предела.
Смотрите также
Рекомендации
- ↑ Чандрасекар, Субраманян и Субраманян Чандрасекар. Введение в изучение звездного строения. Vol. 2. Глава 11 Courier Corporation, 1958 год.
- ^ Дэвис, Гарольд Тайер (1962). Введение в нелинейные дифференциальные и интегральные уравнения . Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-60971-3.