Уравнение Эмдена – Чандрасекара

Численное решение уравнения Эмдена – Чандрасекара.

В астрофизике , то уравнение Эмдена-Чандрасекхар является безразмерной формой уравнения Пуассона для распределения плотности сферический симметричной изотермических сферы газа , подвергнутой своей собственной силу тяжести, названной в честь Роберта Эмден и Субраманьян Чандрасекара . ^{[1] [2]} Уравнение было впервые введено Робертом Эмденом в 1907 году. ^[3] Уравнение ^[4] гласит:

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ xi}} \ left (\ xi ^ {2} {\ frac {d \ psi} {d \ xi}} \ right) = e ^ {- \ psi}}$

где - безразмерный радиус и связан с плотностью газовой сферы как , где - плотность газа в центре. Уравнение не имеет известного явного решения. Если вместо изотермической жидкости используется политропная жидкость, получается уравнение Лейна – Эмдена . Изотермическое предположение обычно моделируется для описания ядра звезды. Уравнение решается с начальными условиями,${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ psi}$${\displaystyle \rho =\rho _{c}e^{-\psi }}$${\displaystyle \rho _{c}}$

${\displaystyle \psi =0,\quad {\frac {d\psi }{d\xi }}=0\quad {\text{at}}\quad \xi =0.}$

Уравнение появляется и в других разделах физики, например, такое же уравнение появляется в теории взрыва Франк-Каменецкого для сферического сосуда. Релятивистская версия этой сферически-симметричной изотермической модели была изучена Субраманяном Чандрасекаром в 1972 г. ^[5]

Вывод [ править ]

Для изотермической газовой звезды давление обусловлено кинетическим давлением и радиационным давлением.${\displaystyle p}$

${\displaystyle p=\rho {\frac {k_{B}}{WH}}T+{\frac {4\sigma }{3c}}T^{4}}$

где

• ${\displaystyle \rho }$ это плотность
• ${\displaystyle k_{B}}$является постоянной Больцмана
• ${\displaystyle W}$это средняя молекулярная масса
• ${\displaystyle H}$ это масса протона
• ${\displaystyle T}$ это температура звезды
• ${\displaystyle \sigma }$является постоянная Стефана-Больцмана
• ${\displaystyle c}$ это скорость света

Уравнение равновесия звезды требует баланса между силой давления и силой тяжести.

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dp}{dr}}\right)=-4\pi G\rho }$

где - радиус, отсчитываемый от центра, - гравитационная постоянная . Уравнение переписывается как${\displaystyle r}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\frac {k_{B}T}{WH}}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\ln \rho }{dr}}\right)=-4\pi G\rho }$

Фактическое решение и асимптотическое решение

Представляем трансформацию

${\displaystyle \psi =\ln {\frac {\rho _{c}}{\rho }},\quad \xi =r\left({\frac {4\pi G\rho _{c}WH}{k_{B}T}}\right)^{1/2}}$

где - центральная плотность звезды, приводит к${\displaystyle \rho _{c}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\psi }{d\xi }}\right)=e^{-\psi }}$

Граничные условия:

${\displaystyle \psi =0,\quad {\frac {d\psi }{d\xi }}=0\quad {\text{at}}\quad \xi =0}$

Ибо решение выглядит как${\displaystyle \xi \ll 1}$

${\displaystyle \psi ={\frac {\xi ^{2}}{6}}-{\frac {\xi ^{4}}{120}}+{\frac {\xi ^{6}}{1890}}+\cdots }$

Ограничения модели [ править ]

Предположение изотермической сферы имеет некоторые недостатки. Хотя плотность, полученная в результате растворения этой изотермической газовой сферы, уменьшается от центра, она уменьшается слишком медленно, чтобы получить четко определенную поверхность и конечную массу для сферы. Можно показать , что, как ,${\displaystyle \xi \gg 1}$

${\displaystyle {\frac {\rho }{\rho _{c}}}=e^{-\psi }={\frac {2}{\xi ^{2}}}\left[1+{\frac {A}{\xi ^{1/2}}}\cos \left({\frac {\sqrt {7}}{2}}\ln \xi +\delta \right)+O(\xi ^{-1})\right]}$

где и - константы, которые будут получены численным решением. Такое поведение плотности приводит к увеличению массы с увеличением радиуса. Таким образом, модель обычно пригодна для описания ядра звезды, где температура примерно постоянна. ^[6]${\displaystyle A}$${\displaystyle \delta }$

Единственное решение [ править ]

Введение преобразования преобразует уравнение к виду${\displaystyle x=1/\xi }$

${\displaystyle x^{4}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=e^{-\psi }}$

Уравнение имеет особое решение :

${\displaystyle e^{-\psi _{s}}=2x^{2},\quad {\text{or}}\quad -\psi _{s}=2\ln x+\ln 2}$

Следовательно, можно ввести новую переменную как , где можно вывести уравнение для${\displaystyle -\psi =2\ln x+z}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {dz}{dt}}+e^{z}-2=0,\quad {\text{where}}\quad t=\ln x}$

Это уравнение можно свести к первому порядку, введя

${\displaystyle y={\frac {dz}{dt}}=\xi {\frac {d\psi }{d\xi }}-2}$

тогда у нас есть

${\displaystyle y{\frac {dy}{dz}}-y+e^{z}-2=0}$

Сокращение [ править ]

Есть еще одно сокращение из-за Эдварда Артура Милна . Определим

${\displaystyle u={\frac {\xi e^{-\psi }}{d\psi /d\xi }},\quad v=\xi {\frac {d\psi }{d\xi }}}$

тогда

${\displaystyle {\frac {u}{v}}{\frac {dv}{du}}={\frac {u-1}{u+v-3}}}$

Свойства [ править ]

• Если - решение уравнения Эмдена – Чандрасекара, то также является решением уравнения, где - произвольная постоянная.${\displaystyle \psi (\xi )}$${\displaystyle \psi (A\xi )-2\ln A}$${\displaystyle A}$
• Конечные в начале координат решения уравнения Эмдена – Чандрасекара обязательно должны иметь при${\displaystyle d\psi /d\xi =0}$${\displaystyle \xi =0}$

См. Также [ править ]

• Уравнение Лейна – Эмдена
• Теория Франк-Каменецкого
• Уравнение белого карлика Чандрасекара

Ссылки [ править ]