Теория Франк-Каменецкого

В горении , теория Франк-Каменецкий объясняет тепловой взрыв однородной смеси реагентов, хранится в закрытом сосуде с постоянными стенками температуры. Он назван в честь русского ученого Давида А. Франк-Каменецкого , который вместе с Николаем Семеновым разработал теорию в 1930-х годах. ^{[1] [2] [3] [4]}

Описание проблемы ^{[5] [6] [7] [8] [9]} [ редактировать ]

Рассмотрим сосуд, поддерживаемый при постоянной температуре , содержащий гомогенную реакционную смесь. Пусть характерный размер судна будет . Поскольку смесь однородная, плотность постоянна. В начальный период воспламенения расход концентрации реагента незначителен (см. И ниже), поэтому взрыв регулируется только уравнением энергии. Предполагая одноступенчатую глобальную реакцию , где - количество тепла, выделяемого на единицу массы израсходованного топлива, а скорость реакции регулируется законом Аррениуса , уравнение энергии принимает следующий вид:${\ displaystyle T_ {o}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle t_ {f}}$${\ displaystyle t_ {e}}$${\ displaystyle {\ text {топливо}} + {\ text {окислитель}} \ rightarrow {\ text {products}} + q}$${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle \ rho c_ {v} {\ frac {\ partial T} {\ partial t}} = \ lambda \ nabla ^ {2} T + q \ rho BY_ {Fo} e ^ {- E / (RT) }}$

где

• ${\ displaystyle T}$	температура смеси;
• ${\ displaystyle c_ {v}}$	- удельная теплоемкость при постоянном объеме;
• ${\ displaystyle \ lambda}$	- теплопроводность ;
• ${\ displaystyle B}$	- предэкспоненциальный множитель с размерностью единицы во времени;
• ${\ displaystyle Y_ {Fo}}$	- начальная массовая доля топлива ;
• ${\ displaystyle E}$	- энергия активации ;
• ${\ displaystyle R}$	- универсальная газовая постоянная .

Безразмерность [ править ]

Безразмерные масштабы времени, температуры, длины и теплопередачи могут быть определены как

${\displaystyle \tau ={\frac {t}{t_{e}}},\quad \theta ={\frac {\beta (T-T_{o})}{T_{o}}},\quad \eta ^{j}={\frac {r^{j}}{a}},\quad \delta ={\frac {t_{c}}{t_{e}}}}$

где

• ${\displaystyle t_{c}=\rho c_{v}a^{2}/\lambda }$	- характерное время прохождения тепла через сосуд;
• ${\displaystyle t_{f}=\left(Be^{-\beta }\right)^{-1}}$	- характерное время расхода топлива;
• ${\displaystyle t_{e}=\left(\beta \gamma Be^{-\beta }\right)^{-1}}$	- характерное время взрыва / возгорания;
• ${\displaystyle a}$	- характерное расстояние, например радиус сосуда;
• ${\displaystyle \beta =E/(RT_{o})}$	- безразмерная энергия активации;
• ${\displaystyle \gamma =(qY_{Fo})/(c_{v}T_{o})}$	- параметр тепловыделения;
• ${\displaystyle \delta }$	- число Дамкелера ;
• ${\displaystyle r}$	- пространственная координата с началом в центре;
• ${\displaystyle j=0}$	для плоской плиты;
• ${\displaystyle j=1}$	для цилиндрического сосуда;
• ${\displaystyle j=2}$	для сферического сосуда.

(Обратите внимание, что в типичном процессе сгорания, так что . Следовательно,. То есть, время потребления топлива намного больше, чем время зажигания, поэтому потребление топлива по существу незначительно при исследовании воспламенения. Вот почему предполагается, что концентрация топлива остается исходной концентрацией топлива .)${\displaystyle \gamma \approx 6{-}8,\ \beta \approx 30{-}100}$${\displaystyle \beta \gamma \gg 1}$${\displaystyle t_{f}=\beta \gamma t_{e}\gg 1}$${\displaystyle Y_{Fo}}$

Подставляя безразмерные переменные в уравнение энергии из введения

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial \tau }}={\frac {1}{\delta }}{\frac {1}{\eta ^{j}}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\left(\eta ^{j}{\frac {\partial \theta }{\partial \eta }}\right)+e^{\theta /(1+\theta /\beta )}}$

Поскольку экспоненциальный член можно линеаризовать , следовательно,${\displaystyle \beta \gg 1}$${\displaystyle e^{\theta /(1+\theta /\beta )}\approx e^{\theta }}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial \tau }}={\frac {1}{\delta }}{\frac {1}{\eta ^{j}}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\left(\eta ^{j}{\frac {\partial \theta }{\partial \eta }}\right)+e^{\theta }}$

Теория Семенова [ править ]

До Франк-Каменецкого его научный руководитель Николай Семенов (или Семенов) предложил теорию теплового взрыва с простой моделью, т.е. он предположил линейную функцию для процесса теплопроводности вместо оператора Лапласа . Уравнение Семенова читается как

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial \tau }}=e^{\theta }-{\frac {\theta }{\delta }},\quad \theta (0)=0}$

Ибо система взрывается, поскольку экспоненциальный член доминирует. Поскольку система переходит в устойчивое состояние, система не взрывается. В частности, Семенов нашел критическое число Дамкелера , которое называется параметром Франка-Каменецкого (где ) как критическая точка, в которой система переходит из стационарного состояния во взрывоопасное. Для решения является${\displaystyle e^{-1}<\delta <\infty }$${\displaystyle 0<\delta <e^{-1}}$ ${\displaystyle \delta _{c}=e^{-1}}$${\displaystyle \theta =1}$${\displaystyle \delta \gg 1}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial \tau }}=e^{\theta },\quad \Rightarrow \quad \theta =\ln \left({\frac {1}{1-\tau }}\right)}$

Время от времени система взрывается. Это время также называют периодом адиабатической индукции, поскольку теплопроводность здесь незначительна.${\displaystyle \tau =1}$

Стационарная теория Франк-Каменецкого ^{[10] [11]} [ править ]

Единственный параметр, характеризующий взрыв, - это число Дамкелера . Когда он очень высокий, время проводимости больше, чем время химической реакции, и система взрывается при высокой температуре, так как для теплопроводности недостаточно времени для отвода тепла. С другой стороны, когда оно очень низкое, время теплопроводности намного быстрее, чем время химической реакции, так что все тепло, производимое химической реакцией, немедленно передается на стену, поэтому нет взрыва, оно уходит почти на В устойчивом состоянии Амабл Линьан придумала этот режим как режим медленного реагирования. При критическом значении числа Дамкелера система переходит из режима медленного реагирования во взрывной режим. Следовательно,${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta _{c}}$${\displaystyle \delta <\delta _{c}}$, система находится в устойчивом состоянии. Вместо того, чтобы решить полную проблему, чтобы найти это , Франк-Каменецкий решил задачу о стационарном состоянии для различных чисел Дамкелера до критического значения, за пределами которого устойчивого решения не существует. Итак, проблема, которую нужно решить, это${\displaystyle \delta _{c}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\eta ^{j}}}{\frac {d}{d\eta }}\left(\eta ^{j}{\frac {d\theta }{d\eta }}\right)=-\delta e^{\theta }}$

с граничными условиями

${\displaystyle \theta (1)=0,\quad {\frac {d\theta }{d\eta }}_{\eta =0}=0}$

второе условие связано с симметрией сосуда. Приведенное выше уравнение является частным случаем уравнения Лиувилля – Брату – Гельфанда в математике .

Плоский сосуд [ править ]

Для плоского сосуда есть точное решение. Вот тогда${\displaystyle j=0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\eta ^{2}}}=-\delta e^{\theta }}$

Если преобразования и , где - максимальная температура, возникающая при симметрии, введены${\displaystyle \Theta =\theta _{m}-\theta }$${\displaystyle \xi ^{2}=\delta e^{\theta _{m}}\eta ^{2}}$${\displaystyle \theta _{m}}$${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\Theta }{d\xi ^{2}}}=e^{-\Theta },\quad \Theta (0)=0,\quad {\frac {d\Theta }{d\xi }}_{\xi =0}=0}$

После однократного интегрирования и использования второго граничного условия уравнение принимает вид

${\displaystyle {\frac {d\Theta }{d\xi }}={\sqrt {2(1-e^{-\Theta })}}}$

и снова интегрируя

${\displaystyle e^{(\theta _{m}-\theta )/2}=\cosh \left({\sqrt {\frac {\delta e^{\theta _{m}}}{2}}}\eta \right)}$

Приведенное выше уравнение является точным решением, но максимальная температура неизвестна, но мы еще не использовали граничное условие стенки. Таким образом, используя граничное условие стенки при , максимальная температура получается из неявного выражения${\displaystyle \theta _{m}}$${\displaystyle \theta =0}$${\displaystyle \eta =1}$

${\displaystyle e^{\theta _{m}/2}=\cosh \left({\sqrt {\frac {\delta e^{\theta _{m}}}{2}}}\right)\quad {\text{or}}\quad \delta =2e^{-\theta _{m}}\left(\cosh ^{-1}e^{\theta _{m}/2}\right)^{2}}$

Критичность получается при нахождении точки максимума уравнения (см. Рисунок), т. Е. При .${\displaystyle \delta _{c}}$${\displaystyle d\delta /d\theta _{m}=0}$${\displaystyle \delta _{c}}$

${\displaystyle {\frac {d\delta }{d\theta _{m}}}=0,\quad \Rightarrow \quad e^{\theta _{m,c}/2}-{\sqrt {e^{\theta _{m,c}}-1}}\cosh ^{-1}e^{\theta _{m,c}/2}=0}$

${\displaystyle \theta _{m,c}=1.1868,\quad \Rightarrow \quad \delta _{c}=0.8785}$

Значит, критический параметр Франка-Каменского равен . Система не имеет устойчивого состояния (или взрывается) для и для , система переходит в устойчивое состояние с очень медленной реакцией.${\displaystyle \delta _{c}=0.8785}$${\displaystyle \delta >\delta _{c}=0.8785}$${\displaystyle \delta <\delta _{c}=0.8785}$

Цилиндрический сосуд [ править ]

Для цилиндрического сосуда есть точное решение. Хотя Франк-Kamentskii использовали численное интегрирование при условии , что нет никакого явного решения, Пол Л. CHAMBRE при условии , точное решение в 1952 году ^[12] H. Лемке также решается при условии , решение в несколько иной форме в 1913 г. ^[13] Здесь , то${\displaystyle j=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{\eta }}{\frac {d}{d\eta }}\left(\eta {\frac {d\theta }{d\eta }}\right)=-\delta e^{\theta }}$

Если преобразования и введены${\displaystyle \omega =\eta d\theta /d\eta }$${\displaystyle \chi =e^{\theta }\eta ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {d\omega }{d\chi }}=-{\frac {\delta }{2+\omega }},\quad \omega (0)=0}$

Общее решение . Но из условия симметрии в центре. Записывая обратно в исходную переменную, уравнение читается как${\displaystyle \omega ^{2}+4\omega +C=-2\delta \chi }$${\displaystyle C=0}$

${\displaystyle \eta ^{2}\left({\frac {d\theta }{d\eta }}\right)^{2}+4\eta {\frac {d\theta }{d\eta }}=-2\delta \eta ^{2}e^{\theta }}$

Но исходное уравнение, умноженное на :${\displaystyle 2\eta ^{2}}$

${\displaystyle 2\eta ^{2}{\frac {d^{2}\theta }{d\eta ^{2}}}+2\eta {\frac {d\theta }{d\eta }}=-2\delta \eta ^{2}e^{\theta }}$

Теперь вычитание двух последних уравнений друг из друга приводит к

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\eta ^{2}}}-{\frac {1}{\eta }}{\frac {d\theta }{d\eta }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\theta }{d\eta }}\right)^{2}=0}$

Это уравнение легко решить, потому что оно включает только производные, поэтому позволяя преобразовать уравнение${\displaystyle g(\eta )=d\theta /d\eta }$

${\displaystyle {\frac {dg}{d\eta }}-{\frac {g}{\eta }}-{\frac {g^{2}}{2}}=0}$

Это дифференциальное уравнение Бернулли порядка , разновидность уравнения Риккати . Решение${\displaystyle 2}$

${\displaystyle g(\eta )={\frac {d\theta }{d\eta }}=-{\frac {4\eta }{B'+\eta ^{2}}}}$

Еще раз интегрируя, у нас есть где . Мы использовали уже одно граничное условие, осталось еще одно граничное условие, но с двумя константами . Оказывается, и связаны друг с другом, которое получается путем замены указанного раствора в исходном уравнении мы приходим . Следовательно, решение${\displaystyle \theta =A-2\ln(B\eta ^{2}+1)}$${\displaystyle B=1/B'}$${\displaystyle A,\ B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A=\ln(8B/\delta )}$

${\displaystyle \theta =\ln \left[{\frac {8B/\delta }{(B\eta ^{2}+1)^{2}}}\right]}$

Теперь, если мы воспользуемся другим граничным условием , мы получим уравнение для as . Максимальное значение, для которого возможно решение, когда , поэтому критический параметр Франка-Каменского равен . Система не имеет устойчивого состояния (или взрывается) для и для , система переходит в устойчивое состояние с очень медленной реакцией. Максимальная температура достигается при${\displaystyle \theta (1)=0}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \delta (B+1)^{2}-8B=0}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle B=1}$${\displaystyle \delta _{c}=2}$${\displaystyle \delta >\delta _{c}=2}$${\displaystyle \delta <\delta _{c}=2}$${\displaystyle \theta _{m}}$${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle \theta _{m}=\ln \left({\frac {8B}{\delta }}\right)\quad {\text{or}}\quad \delta =8Be^{-\theta _{m}}}$

Для каждого значения у нас есть два значения, поскольку многозначно. Максимальная критическая температура составляет .${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \theta _{m}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \theta _{m,c}=\ln 4}$

Сферический сосуд [ править ]

Для сферического сосуда нет известного явного решения, поэтому Франк-Каменецкий численными методами нашел критическое значение. Вот тогда${\displaystyle j=2}$

${\displaystyle {\frac {1}{\eta ^{2}}}{\frac {d}{d\eta }}\left(\eta ^{2}{\frac {d\theta }{d\eta }}\right)=-\delta e^{\theta }}$

Если преобразования и , где - максимальная температура, возникающая при симметрии, введены${\displaystyle \Theta =\theta _{m}-\theta }$${\displaystyle \xi ^{2}=\delta e^{\theta _{m}}\eta ^{2}}$${\displaystyle \theta _{m}}$${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\Theta }{d\xi }}\right)=e^{-\Theta },\quad \Theta (0)=0,\quad {\frac {d\Theta }{d\xi }}_{\xi =0}=0}$

Выше уравнение не что иное , как уравнение Эмдена-Чандрасекхар , ^[14] , который появляется в астрофизике , описывающих изотермический газовой сфере. В отличии от плоского и цилиндрического случая, сферический сосуд имеет бесконечное множество решений для колеблющихся вокруг точки , ^[15] , а не только два решения, которые показали Израиль Гельфанд . ^[16] Для объяснения взрывного поведения будет выбрана самая нижняя ветвь.${\displaystyle \delta <\delta _{c}}$${\displaystyle \delta =2}$

Путем численного решения установлено, что критический параметр Франка-Каменецкого равен . Система не имеет устойчивого состояния (или взрывается) для и для , система переходит в устойчивое состояние с очень медленной реакцией. Максимальная температура достигается при, а максимальная критическая температура составляет .${\displaystyle \delta _{c}=3.32}$${\displaystyle \delta >\delta _{c}=3.32}$${\displaystyle \delta <\delta _{c}=3.32}$${\displaystyle \theta _{m}}$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle \theta _{m,c}=1.61}$

Несимметричные геометрии [ править ]

Для сосудов, которые не являются симметричными относительно центра (например, прямоугольного сосуда), проблема заключается в решении нелинейного уравнения в частных производных вместо нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения , которое в большинстве случаев может быть решено только с помощью численных методов. Уравнение

${\displaystyle \nabla ^{2}\theta +\delta e^{\theta }=0}$

с граничным условием на ограничивающих поверхностях.${\displaystyle \theta =0}$

Приложения [ править ]

Поскольку модель предполагает однородную смесь, теория хорошо применима для изучения взрывоопасного поведения твердого топлива (самовозгорание биотоплива, органических материалов, мусора и т. Д.). Это также используется для создания взрывчатых веществ и взломщиков огня. Теория точно предсказала критические значения для жидкостей / твердых тел с низкой проводимостью и тонкостенных контейнеров с высокой проводимостью. ^[17]

См. Также [ править ]

• Уравнение Кларка

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Проблема Франка-Каменецкого в решателе Wolfram http://demonstrations.wolfram.com/TheFrankKamenetskiiProblem/
• Отслеживание проблемы Франк-Каменецкого в решателе Wolfram http://demonstrations.wolfram.com/TrackingTheFrankKamenetskiiProblem/
• Планарное решение в решателе Chebfun http://www.chebfun.org/examples/ode-nonlin/BlowupFK.html