В теории алгебр фон Неймана , являющейся частью математической области функционального анализа , теория Томиты – Такесаки представляет собой метод построения модулярных автоморфизмов алгебр фон Неймана из полярного разложения некоторой инволюции. Это важно для теории факторов типа III и привело к хорошей теории структуры для этих ранее трудноразрешимых объектов.
Теория была представлена Минору Томита ( 1967 ), но его работа была трудной для понимания и по большей части неопубликованной, и мало внимания уделялось ей, пока Масамичи Такесаки ( 1970 ) не написал отчет о теории Томиты.
Модульные автоморфизмы состояния
Предположим , что М является алгебра фон Неймана , действующая на гильбертовом пространстве H , а Ω является циклическим и отделяя вектор из Н нормы 1. ( Циклические означает , что МОм плотно в H , и разделения означает , что отображение из М в МОм является инъективный.) Пишем для государства из M , так что H строится изс использованием конструкции Гельфанда – Наймарка – Сигала .
Мы можем определить неограниченный антилинейный оператор S 0 на H с областью определения MΩ , положивдля всех m в M , и аналогично мы можем определить неограниченный антилинейный оператор F 0 на H с областью определения M'Ω , положивдля т в М ', где М ' является Коммутантом из М .
Эти операторы замыкаемы, и мы обозначим их замыкания через S и F = S *. У них есть полярные разложения
где является антилинейной изометрией, называемой модульным сопряжением, и - положительный самосопряженный оператор, называемый модулярным оператором .
Основной результат теории Томиты – Такесаки гласит:
для всех t и что
коммутант М .
Существует однопараметрическое семейство модулярных автоморфизмов из М связано с состоянием, определяется
Коцикл Конна
Группа модулярных автоморфизмов алгебры фон Неймана M зависит от выбора состояния φ. Конн обнаружил , что изменение состояния не меняет образ модульного автоморфизма в группах внешних автоморфизмов из M . Более точно, учитывая два точных состояния φ и ψ матрицы M , мы можем найти унитарные элементы u t матрицы M для всех вещественных t таких, что
так что модульные автоморфизмы отличаются внутренними автоморфизмами, причем u t удовлетворяет условию 1-коцикла
В частности, существует канонический гомоморфизм аддитивной группы вещественных чисел к группе внешних автоморфизмов M , который не зависит от выбора точного состояния.
KMS состояния
Термин состояние KMS происходит от условия Кубо – Мартина – Швингера в квантовой статистической механике .
KMS состояние φ на алгебре фон Неймана M с заданной 1-параметрической группы автоморфизмов а т это состояние фиксируется автоморфизмам таких , что для каждой пары элементов , В из М существует ограниченная непрерывная функция F в полосе 0 ≤ Im ( t ) ≤ 1 , голоморфный внутри, такой, что
Такесаки и Виннинк показали, что (точное полуконечное нормальное) состояние φ является состоянием KMS для 1-параметрической группы модулярных автоморфизмов . Более того, это характеризует модулярные автоморфизмы φ.
(Часто в теории состояний KMS используется дополнительный параметр, обозначаемый буквой β. В приведенном выше описании он был нормализован до 1 путем изменения масштаба однопараметрического семейства автоморфизмов.)
Структура факторов III типа
Выше мы видели, что существует канонический гомоморфизм δ из группы вещественных чисел в группу внешних автоморфизмов алгебры фон Неймана, заданный модулярными автоморфизмами. Ядро алгебры δ - важный инвариант алгебры. Для простоты предположим, что алгебра фон Неймана является фактором. Тогда возможности ядра δ таковы:
- Вся настоящая линия. В этом случае δ тривиально, а фактор относится к типу I или II.
- Собственная плотная подгруппа вещественной прямой. Тогда фактор называется фактором типа III 0 .
- Дискретная подгруппа, порожденная некоторым x > 0. Тогда множитель называется множителем типа III λ с 0 <λ = exp (−2 π / x ) <1, или иногда множителем Пауэрса.
- Тривиальная группа 0. Тогда фактор называется фактором типа III 1 . (Это в некотором смысле общий случай.)
Гильбертовые алгебры
Основные результаты теории Томиты – Такесаки были доказаны с использованием левой и правой гильбертовых алгебр.
Влево Гильберта алгебра есть алгебра с инволюцией х → х ♯ и скалярным произведением (,) таким образом, что
- Левое умножение на фиксированный a ∈ A - ограниченный оператор.
- ♯ - присоединенный; другими словами ( xy , z ) = ( y , x ♯ z ).
- Инволюции ♯ является preclosed
- Подалгебра , натянутая на все продукты ху плотно в А .
Правый Гильберт алгебра определяются аналогично (с инволюцией ♭) с левым и правым обращенным в условиях выше.
Гильберта алгебра является левым Гильберта алгебра такая , что в дополнение ♯ является изометрией, другими словами ( х , у ) = ( у ♯ , х ♯ ).
Примеры:
- Если М является алгебра фон Неймана , действующая на гильбертовом пространстве Н с циклическим разделительный вектор V , а затем положить A = Mv и определяют ( хи ) ( Yv ) = xyv и ( хи ) ♯ = х * V . Ключевое открытие Томитов было то, что это делает А в левой гильбертовой алгебру, так и в частности закрытие оператора ♯ имеет полярное разложение , как указаны выше. Вектор v является единицей A , поэтому A - унитальная левая гильбертова алгебра.
- Если G - локально компактная группа, то векторное пространство всех непрерывных комплексных функций на G с компактным носителем является правой гильбертовой алгеброй, если умножение задается сверткой и x ♭ ( g ) = x ( g −1 ) *.
Рекомендации
- Borchers, HJ (2000), «О революционизме квантовой теории поля с помощью модульной теории Томиты», Journal of Mathematical Physics , 41 (6): 3604–3673, Bibcode : 2000JMP .... 41.3604B , doi : 10.1063 / 1.533323 , MR 1768633
- Bratteli, O .; Робинсон, Д.В. (1987), Операторные алгебры и квантовая статистическая механика 1, второе издание , Springer-Verlag, ISBN 3-540-17093-6
- Конн, Ален (1994), Некоммутативная геометрия , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-185860-5[ постоянная мертвая ссылка ]
- Диксмье, Жак (1981), алгебры фон Неймана , Математическая библиотека Северной Голландии, 27 , Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-86308-9, Руководство по ремонту 0641217
- Иноуэ, А. (2001) [1994], "Теория Томита – Такесаки" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Накано, Hidegorô (1950), "Гильберта алгебры", Тохоку Математический журнал , вторая серия, 2 : 4-23, DOI : 10,2748 / TMJ / 1178245666 , MR 0041362
- Штерн, AI (2001) [1994], "Гильбертовая алгебра" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Саммерс, SJ (2006), «Модульная теория Томиты – Такесаки», во Франсуазе, Жан-Пьер; Naber, Gregory L .; Цун, Цоу Шеунг (ред.), Энциклопедия математической физики , Academic Press / Elsevier Science, Oxford, arXiv : math-ph / 0511034 , Bibcode : 2005math.ph..11034S , ISBN 978-0-12-512660-1, Руководство по ремонту 2238867
- Такесаки М. (1970), Теория модулярных гильбертовых алгебр Томиты и ее приложения , Lecture Notes Math., 128 , Springer, doi : 10.1007 / BFb0065832 , ISBN 978-3-540-04917-3
- Такесаки, Масамичи (2003), Теория операторных алгебр. II , Энциклопедия математических наук, 125 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42914-2, MR 1943006
- Томита, Минору (1967), "О канонических формах алгебр фон Неймана", Пятый симпозиум по функциональному анализу. (Tôhoku Univ., Sendai, 1967) (на японском языке), Tôhoku Univ., Sendai: Math. Ин-т. С. 101–102, МР 0284822.
- Томита, М. (1967) , Квазистандартные алгебры фон Неймана , мимографированные примечания, неопубликованные