Оптимизация топологии

Оптимизация топологии ( TO ) - это математический метод, который оптимизирует расположение материалов в заданном пространстве проектирования для заданного набора нагрузок, граничных условий и ограничений с целью максимизации производительности системы. TO отличается от оптимизации формы и оптимизации размеров в том смысле, что дизайн может достигать любой формы в пространстве дизайна, вместо того, чтобы иметь дело с предопределенными конфигурациями.

Традиционная формулировка ТО использует метод конечных элементов (МКЭ) для оценки проектных характеристик. Конструкция оптимизируется с использованием либо методов математического программирования на основе градиента, таких как алгоритм критериев оптимальности и метод перемещения асимптот, либо алгоритмов, не основанных на градиенте, таких как генетические алгоритмы .

Оптимизация топологии находит широкое применение в аэрокосмической, механической, биохимической и гражданской инженерии. В настоящее время инженеры в основном используют ТО на концептуальном уровне процесса проектирования. Из-за естественных форм, которые встречаются в природе, результат часто бывает трудно изготовить. По этой причине результат, получаемый в результате ТО, часто дорабатывается с учетом технологичности. Добавление ограничений в рецептуру с целью увеличения технологичности является активной областью исследований. В некоторых случаях результаты ТО могут быть получены напрямую с использованием аддитивного производства ; Таким образом, ТО является ключевой частью дизайна для аддитивного производства .

Формулировка проблемы [ править ]

Задачу оптимизации топологии можно записать в общем виде задачи оптимизации как:

{\ Displaystyle {\ begin {align} & {\ underset {\ rho} {\ operatorname {minim}}} && F = F (\ mathbf {u (\ rho), \ rho}) = \ int _ {\ Omega} f (\ mathbf {u (\ rho), \ rho}) \ mathrm {d} V \\ & \ operatorname {subject \; to} && G_ {0} (\ rho) = \ int _ {\ Omega} \ rho \ mathrm {d} V-V_ {0} \ leq 0 \\ &&& G_ {j} (\ mathbf {u} (\ rho), \ rho) \ leq 0 {\ text {with}} j = 1, .. ., m \ end {выровнено}}}

В постановку задачи входит следующее:

Целевая функция . Эта функция представляет количество, которое минимизируется для лучшей производительности. Наиболее распространенной целевой функцией является соответствие, когда минимизация соответствия приводит к максимальному увеличению жесткости конструкции. ${\ Displaystyle F (\ mathbf {и (\ rho), \ rho})}$
Распределение материалов как проблемная переменная. Это описывается плотностью материала в каждом месте . Материал либо присутствует (обозначается 1), либо отсутствует, обозначается 0, представляет собой поле состояния, которое удовлетворяет линейному или нелинейному уравнению состояния. ${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {u})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$
Пространство дизайна . Это указывает допустимый объем, в котором может существовать конструкция. Требования к сборке и упаковке, доступность людей и инструментов - вот некоторые из факторов, которые необходимо учитывать при определении этого пространства. При определении пространства проектирования области или компоненты в модели, которые не могут быть изменены в ходе оптимизации, считаются областями, не относящимися к проекту. ${\ displaystyle (\ Omega)}$
${\ displaystyle \ scriptstyle m}$ ограничивает характеристику, которой должно удовлетворять решение. Примерами являются максимальное количество распределяемого материала (ограничение объема) или максимальные значения напряжения. ${\ Displaystyle G_ {J} (\ mathbf {u} (\ rho), \ rho) \ leq 0}$

Оценка часто включает решение дифференциального уравнения. Чаще всего это делается с использованием метода конечных элементов, поскольку эти уравнения не имеют известного аналитического решения. ${\ Displaystyle \ mathbf {и (\ rho)}}$

Методики реализации [ править ]

Существуют различные методологии реализации, которые использовались для решения задач ТО.

Дискретный [ править ]

Решение задач ТО в дискретном смысле выполняется путем дискретизации области проектирования на конечные элементы. Плотность материала внутри этих элементов затем рассматривается как переменные проблемы. В этом случае плотность материала, равная единице, указывает на наличие материала, в то время как ноль указывает на отсутствие материала. Из-за достижимой топологической сложности конструкции, зависящей от количества элементов, большое количество является предпочтительным. Большое количество конечных элементов увеличивает достижимую топологическую сложность, но требует затрат. Во-первых, решение системы МКЭ становится дороже. Во-вторых, недоступны алгоритмы, которые могут обрабатывать большое количество (несколько тысяч элементов нередко) дискретных переменных с несколькими ограничениями. Более того, они практически не чувствительны к изменениям параметров.^[1] В литературе сообщалось о проблемах с числом переменных до 30000. ^[2]

Решение проблемы с непрерывными переменными [ править ]

Заявленные ранее сложности с решением задач TO с использованием двоичных переменных заставили сообщество искать другие варианты. Один из них - моделирование плотностей с непрерывными переменными. Плотность материала теперь также может достигать значений от нуля до единицы. Доступны алгоритмы на основе градиентов, которые обрабатывают большое количество непрерывных переменных и множественных ограничений. Но свойства материала необходимо моделировать в непрерывном режиме. Это делается с помощью интерполяции. Одной из наиболее часто используемых методологий интерполяции является метод твердого изотропного материала с пенализацией (SIMP). ^[3]^[4] Эта интерполяция по сути является степенным законом. ${\ Displaystyle E \; = \; E_ {0} \, + \, \ rho ^ {p} (E_ {1} -E_ {0})}$ . Он интерполирует модуль Юнга материала в скалярное поле выбора. Значение параметра штрафов обычно берется между . Было показано, что это подтверждает микроструктуру материалов. ^[5] В методе SIMP добавлена нижняя граница модуля Юнга, чтобы гарантировать, что производные целевой функции не равны нулю, когда плотность становится равной нулю. Чем выше коэффициент штрафов, тем больше SIMP штрафует алгоритм за использование недвоичных плотностей. К сожалению, параметр штрафов также вносит невыпуклость. ^[6] $p$ $[1,\,3]$ $E_{0}$

Производные формы [ править ]

Топологические производные [ править ]

Уровень установлен [ править ]

Поле фазы [ править ]

Эволюционная структурная оптимизация [ править ]

Коммерческое программное обеспечение [ править ]

На рынке имеется несколько коммерческих программ для оптимизации топологии. Большинство из них используют оптимизацию топологии как подсказку, как должна выглядеть оптимальная конструкция, и требуется ручное восстановление геометрии. Есть несколько решений, которые позволяют создавать оптимальные конструкции, готовые для аддитивного производства.

Примеры [ править ]

В этом результате показаны образцы шахматной доски.

Результат оптимизации топологии при использовании фильтрации

Оптимизация топологии проблемы соответствия

Структурное соответствие [ править ]

В этом разделе не процитировать любые источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . ( Декабрь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Жесткая конструкция - это конструкция, которая имеет наименьшее возможное смещение при заданном наборе граничных условий. Глобальной мерой перемещений является энергия деформации (также называемая податливостью) конструкции при заданных граничных условиях. Чем ниже энергия деформации, тем выше жесткость конструкции. Итак, целевая функция задачи - минимизировать энергию деформации.

В широком смысле можно представить себе, что чем больше материала, тем меньше прогиб, поскольку больше материала будет выдерживать нагрузки. Итак, оптимизация требует противоположного ограничения - ограничения объема. На самом деле это фактор стоимости, так как мы не хотели бы тратить много денег на материал. Чтобы получить общий использованный материал, можно выполнить интегрирование поля выбора по объему.

Наконец, вводятся управляющие дифференциальные уравнения упругости, чтобы получить окончательную постановку задачи.

\min _{\rho }\;\int _{\Omega }{\frac {1}{2}}\mathbf {\sigma } :\mathbf {\varepsilon } \,\mathrm {d} \Omega

при условии:

$\rho \,\in \,[0,\,1]$
$\int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} \Omega \;\leq \;V^{*}$
$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {\sigma } \,+\,\mathbf {F} \;=\;{\mathbf {0} }$
$\mathbf {\sigma } \;=\;{\mathsf {C}}:\mathbf {\varepsilon }$

Но прямая реализация такой проблемы в структуре конечных элементов по-прежнему невозможна из-за таких проблем, как:

Зависимость от сетки - Зависимость от сетки означает, что дизайн, полученный на одной сетке, не тот, который будет получен на другой сетке. Особенности дизайна становятся более сложными по мере того, как сетка улучшается.
Числовые нестабильности - выделение области в виде шахматной доски.

Некоторые методы, такие как фильтрация на основе обработки изображений, в настоящее время используются для решения некоторых из этих проблем.

Мультифизические проблемы [ править ]

Взаимодействие со структурой жидкости [ править ]

Взаимодействие жидкости и структуры - это сильно взаимосвязанное явление, касающееся взаимодействия между неподвижной или движущейся жидкостью и упругой структурой. Многие инженерные приложения и природные явления подвержены взаимодействию жидкости и конструкции, поэтому учет таких эффектов имеет решающее значение при проектировании многих инженерных приложений. Оптимизация топологии для задач взаимодействия конструкции жидкости изучалась, например, в ссылках ^[7]^[8]^[9] и. ^[10] Конструктивные решения, решенные для различных чисел Рейнольдса, показаны ниже. Проектные решения зависят от потока жидкости и указывают на то, что связь между жидкостью и конструкцией решена в проектных проблемах.

Расчетное решение и поле скоростей для Re = 5

Расчетное решение и поле давления для Re = 10

Расчетное решение и поле давления для Re = 40

Конструктивные решения для разных чисел Рейнольдса для стены, вставленной в канал с движущейся жидкостью.

Набросок известной настенной задачи. Задача проектной задачи - минимизировать структурную податливость.

Эволюция дизайна для проблемы взаимодействия жидкость-структура-структура из справочника. ^[10] Задача проектирования - минимизировать структурную податливость. Задача взаимодействия жидкости и структуры моделируется уравнениями Навье-Коши и Навье-Стокса.

Преобразование термоэлектрической энергии [ править ]

Набросок конструкторской задачи. Целью проектной задачи является пространственное распределение двух материалов, материала A и материала B, чтобы максимизировать такие показатели производительности, как мощность охлаждения или выходная электрическая мощность.

Эволюция конструкции недиагонального термоэлектрического генератора. Решено проектное решение задачи оптимизации отпуска электроэнергии. Производительность устройства была оптимизирована путем распределения скуттерудита (желтый) и теллурида висмута (синий) с помощью методологии оптимизации топологии на основе плотности. Цель задачи оптимизации - максимизировать выходную электрическую мощность термоэлектрического генератора.

Эволюция дизайна термоэлектрического охладителя. Задача проектирования - максимизировать охлаждающую способность термоэлектрического охладителя.

Термоэлектричество - это мультифизическая проблема, которая касается взаимодействия и связи между электрической и тепловой энергией в полупроводниковых материалах. Преобразование термоэлектрической энергии можно описать двумя отдельно идентифицированными эффектами: эффектом Зеебека и эффектом Пельтье. Эффект Зеебека касается преобразования тепловой энергии в электрическую, а эффект Пельтье касается преобразования электрической энергии в тепловую. ^[11] Пространственно распределив два термоэлектрических материала в двухмерном пространстве проектирования с помощью методологии оптимизации топологии, ^[12] можно превзойти характеристики составляющих термоэлектрических материалов для термоэлектрических охладителей и термоэлектрических генераторов.. ^[13]

Форма 3F3D следует за принудительной 3D-печатью [ править ]

Текущее распространение технологии 3D-принтеров позволило дизайнерам и инженерам использовать методы оптимизации топологии при разработке новых продуктов. Оптимизация топологии в сочетании с 3D-печатью может привести к уменьшению веса, улучшению структурных характеристик и сокращению цикла от проектирования до производства. Поскольку конструкции, хотя и эффективны, могут быть нереализуемы с использованием более традиционных технологий производства. ^{[ необходима цитата ]}

Ссылки [ править ]

^ Зигмунд, Оле; Мауте, Курт (2013). «Подходы к топологической оптимизации». Структурная и междисциплинарная оптимизация . 48 (6): 1031–1055. DOI : 10.1007 / s00158-013-0978-6 . S2CID 124426387 .
^ Бекерс, М. (1999). «Оптимизация топологии двойным методом с дискретными переменными» (PDF) . Структурная оптимизация . 17 : 14–24. DOI : 10.1007 / BF01197709 . S2CID 122845784 .
^ Bendsøe, МП (1989). «Оптимальный дизайн формы как проблема распределения материала». Структурная оптимизация . 1 (4): 193–202. DOI : 10.1007 / BF01650949 . S2CID 18253872 .
^ [1] , монография по теме.
^ Bendsøe, MP; Зигмунд, О. (1999). «Схемы интерполяции материалов в оптимизации топологии» (PDF) . Архив прикладной механики . 69 (9–10): 635–654. Bibcode : 1999AAM .... 69..635B . DOI : 10.1007 / s004190050248 . S2CID 11368603 .
^ Ван Дейк, Н.П. Лангелаар, М. ван Кеулен, Ф. Критическое исследование параметризации проекта при оптимизации топологии; Влияние параметризации проекта на локальные минимумы . . 2-я Международная конференция по инженерной оптимизации, 2010 г.
↑ Юн, Гил Хо (2010). «Оптимизация топологии для стационарных задач взаимодействия жидкости и конструкции с использованием новой монолитной постановки». Международный журнал численных методов в инженерии . 82 (5): 591–616. Bibcode : 2010IJNME..82..591Y . DOI : 10.1002 / nme.2777 .
^ Пичелли, R .; Висенте, ВМ; Паванелло, Р. (2017). «Эволюционная оптимизация топологии для минимизации структурной податливости с учетом проектно-зависимых нагрузок FSI». Конечные элементы в анализе и дизайне . 135 : 44–55. DOI : 10.1016 / j.finel.2017.07.005 .
^ Дженкинс, Николас; Мауте, Курт (2016). «Подход с погруженными границами для оптимизации формы и топологии стационарных задач взаимодействия жидкости и конструкции». Структурная и междисциплинарная оптимизация . 54 (5): 1191–1208. DOI : 10.1007 / s00158-016-1467-5 . S2CID 124632210 .
^ a b Лундгаард, Кристиан; Александерсен, Джо; Чжоу, Миндун; Андреасен, Каспер Шоусбо; Зигмунд, Оле (2018). «Пересмотр оптимизации топологии на основе плотности для задач взаимодействия жидкости и структуры» (PDF) . Структурная и междисциплинарная оптимизация . 58 (3): 969–995. DOI : 10.1007 / s00158-018-1940-4 . S2CID 125798826 .
^ Роу, Дэвид Майкл. Справочник по термоэлектрике: от макро до нано . CRC press, 2005.
^ Лундгаард, Кристиан; Зигмунд, Оле (2018). «Методология оптимизации топологии на основе плотности для задач термоэлектрического преобразования энергии» (PDF) . Структурная и междисциплинарная оптимизация . 57 (4): 1427–1442. DOI : 10.1007 / s00158-018-1919-1 . S2CID 126031362 .
^ Лундгаард, Кристиан; Зигмунд, Оле; Бьорк, Расмус (2018). «Оптимизация топологии сегментированных термоэлектрических генераторов» . Журнал электронных материалов . 47 (12): 6959–6971. Bibcode : 2018JEMat..47.6959L . DOI : 10.1007 / s11664-018-6606-х . S2CID 105113187 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Последние разработки в коммерческой реализации оптимизации топологии ; Уве Шрамм, Мин Чжоу; Симпозиум IUTAM по оптимизации топологического проектирования конструкций, машин и материалов: состояние и перспективы, 239–248; 2006 Springer.
Промышленное внедрение и применение оптимизации топологии и будущие потребности ; Клаус Б.В. Педерсен; Питер Аллинджер; Симпозиум IUTAM по оптимизации топологического проектирования конструкций, машин и материалов, 229-238; 2006 Springer.
Оптимизация топологии 2D континуумов для минимального соответствия с использованием параллельных вычислений Араш Махдави; Баладжи Рагхаван; Мэри Фрекер; Международный журнал структурной и междисциплинарной оптимизации, Том 32, 121-132, 2006 г., Springer
Современные концепции структурной оптимизации применительно к оптимизации топологии Хуан Пабло Лейва; Брайан К. Уотсон и Ику Косака; 40-я конференция AIAA / ASME / ASCE / AHS / ASC по структурам, структурной динамике и материалам. Сент-Луис, Миссури, стр. 1589–1596, 1999.

Внешние ссылки [ править ]

Анимация оптимизации топологии

[1] Зигмунд, Оле; Мауте, Курт (2013). «Подходы к топологической оптимизации». Структурная и междисциплинарная оптимизация . 48 (6): 1031–1055. DOI : 10.1007 / s00158-013-0978-6 . S2CID 124426387 .

[2] Бекерс, М. (1999). «Оптимизация топологии двойным методом с дискретными переменными» (PDF) . Структурная оптимизация . 17 : 14–24. DOI : 10.1007 / BF01197709 . S2CID 122845784 .

[3] Bendsøe, МП (1989). «Оптимальный дизайн формы как проблема распределения материала». Структурная оптимизация . 1 (4): 193–202. DOI : 10.1007 / BF01650949 . S2CID 18253872 .

[book-4] [1] , монография по теме.

[5] Bendsøe, MP; Зигмунд, О. (1999). «Схемы интерполяции материалов в оптимизации топологии» (PDF) . Архив прикладной механики . 69 (9–10): 635–654. Bibcode : 1999AAM .... 69..635B . DOI : 10.1007 / s004190050248 . S2CID 11368603 .

[6] Ван Дейк, Н.П. Лангелаар, М. ван Кеулен, Ф. Критическое исследование параметризации проекта при оптимизации топологии; Влияние параметризации проекта на локальные минимумы . . 2-я Международная конференция по инженерной оптимизации, 2010 г.

[7] Юн, Гил Хо (2010). «Оптимизация топологии для стационарных задач взаимодействия жидкости и конструкции с использованием новой монолитной постановки». Международный журнал численных методов в инженерии . 82 (5): 591–616. Bibcode : 2010IJNME..82..591Y . DOI : 10.1002 / nme.2777 .

[8] Пичелли, R .; Висенте, ВМ; Паванелло, Р. (2017). «Эволюционная оптимизация топологии для минимизации структурной податливости с учетом проектно-зависимых нагрузок FSI». Конечные элементы в анализе и дизайне . 135 : 44–55. DOI : 10.1016 / j.finel.2017.07.005 .

[9] Дженкинс, Николас; Мауте, Курт (2016). «Подход с погруженными границами для оптимизации формы и топологии стационарных задач взаимодействия жидкости и конструкции». Структурная и междисциплинарная оптимизация . 54 (5): 1191–1208. DOI : 10.1007 / s00158-016-1467-5 . S2CID 124632210 .

[Lundgaard_FSI-10] Лундгаард, Кристиан; Александерсен, Джо; Чжоу, Миндун; Андреасен, Каспер Шоусбо; Зигмунд, Оле (2018). «Пересмотр оптимизации топологии на основе плотности для задач взаимодействия жидкости и структуры» (PDF) . Структурная и междисциплинарная оптимизация . 58 (3): 969–995. DOI : 10.1007 / s00158-018-1940-4 . S2CID 125798826 .

[11] Роу, Дэвид Майкл. Справочник по термоэлектрике: от макро до нано . CRC press, 2005.

[12] Лундгаард, Кристиан; Зигмунд, Оле (2018). «Методология оптимизации топологии на основе плотности для задач термоэлектрического преобразования энергии» (PDF) . Структурная и междисциплинарная оптимизация . 57 (4): 1427–1442. DOI : 10.1007 / s00158-018-1919-1 . S2CID 126031362 .

[13] Лундгаард, Кристиан; Зигмунд, Оле; Бьорк, Расмус (2018). «Оптимизация топологии сегментированных термоэлектрических генераторов» . Журнал электронных материалов . 47 (12): 6959–6971. Bibcode : 2018JEMat..47.6959L . DOI : 10.1007 / s11664-018-6606-х . S2CID 105113187 .

[1]