Постоянная кручения

Постоянная кручения - это геометрическое свойство поперечного сечения стержня, которое участвует в соотношении между углом скручивания и приложенным крутящим моментом вдоль оси стержня для однородного линейно-упругого стержня. Постоянная кручения вместе со свойствами материала и длиной описывает жесткость стержня на кручение . В системе СИ для постоянной кручения используется м ⁴ .

История [ править ]

В 1820 г. французский инженер А. Дюло аналитически вывел, что постоянная кручения балки идентична второму моменту площади, нормальной к сечению J _zz , которое имеет точное аналитическое уравнение, предполагая, что плоское сечение до скручивания остается плоским. после скручивания, а диаметр остается прямой. К сожалению, это предположение верно только для балок с круглым поперечным сечением и неверно для любой другой формы, где имеет место коробление. ^[1]

Для некруглых поперечных сечений не существует точных аналитических уравнений для определения постоянной кручения. Однако для многих форм были найдены приблизительные решения. Некруглые поперечные сечения всегда имеют деформации коробления, что требует численных методов для точного расчета постоянной кручения. ^[2]

Жесткость на кручение балок с некруглым поперечным сечением значительно увеличивается, если искривление концевых участков ограничивается, например, жесткими концевыми блоками. ^[3]

Частичная деривация [ править ]

Для балки равномерного сечения по длине:

${\ displaystyle \ theta = {\ frac {TL} {GJ}}}$

где

${\ displaystyle \ theta}$ угол закрутки в радианах

T - приложенный крутящий момент

L - длина балки

G - модуль жесткости (модуль сдвига) материала.

J - постоянная кручения

Жесткость на кручение (GJ) и жесткость (GJ / L) [ править ]

Обращая предыдущее соотношение, мы можем определить две величины: жесткость на кручение

${\ displaystyle GJ = {\ frac {TL} {\ theta}}}$в единицах СИ Нм ² / рад

И жесткость на кручение:

${\ displaystyle {\ frac {GJ} {L}} = {\ frac {T} {\ theta}}}$ в единицах СИ Нм / рад

Примеры конкретных однородных форм поперечного сечения [ править ]

Круг [ править ]

${\ displaystyle J_ {zz} = J_ {xx} + J_ {yy} = {\ frac {\ pi r ^ {4}} {4}} + {\ frac {\ pi r ^ {4}} {4} } = {\ frac {\ pi r ^ {4}} {2}}}$^[4]

где

r - радиус

Это идентично второму моменту площади J _zz и является точным.

в качестве альтернативы напишите: ^[4] где${\ displaystyle J = {\ frac {\ pi D ^ {4}} {32}}}$

D - диаметр

Эллипс [ править ]

${\ Displaystyle J \ приблизительно {\ гидроразрыва {\ pi a ^ {3} b ^ {3}} {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$^{[5] [6]}

где

а - большой радиус

b - малый радиус

Квадрат [ править ]

${\ Displaystyle J \ приблизительно \, 2.25a ^ {4}}$^[5]

где

а - половина длины стороны.

Прямоугольник [ править ]

${\ Displaystyle J \ приблизительно \ beta ab ^ {3}}$

где

а - длина длинной стороны

b - длина короткой стороны

${\ displaystyle \ beta}$ находится из следующей таблицы:

а / б	${\ displaystyle \ beta}$
1.0	0,141
1.5	0,196
2.0	0,229
2,5	0,249
3.0	0,263
4.0	0,281
5.0	0,291
6.0	0,299
10.0	0,312
${\ displaystyle \ infty}$	0,333

^[7]

В качестве альтернативы можно использовать следующее уравнение с погрешностью не более 4%:

${\ displaystyle J \ приблизительно ab ^ {3} \ left ({\ frac {16} {3}} - 3.36 {\ frac {b} {a}} \ left (1 - {\ frac {b ^ {4}) } {12a ^ {4}}} \ right) \ right)}$^[5]

В приведенной выше формуле a и b составляют половину длины длинной и короткой сторон соответственно.

Открытая тонкостенная труба одинаковой толщины [ править ]

${\ displaystyle J = {\ frac {1} {3}} Ut ^ {3}}$^[8]

t - толщина стенки

U - длина срединной границы (периметр срединного поперечного сечения)

Круглая тонкостенная открытая труба одинаковой толщины (приближение) [ править ]

Это трубка с продольной прорезью в стенке.

${\ displaystyle J = {\ frac {2} {3}} \ pi rt ^ {3}}$^[9]

t - толщина стенки

r - средний радиус

Это выводится из приведенного выше уравнения для произвольной тонкостенной открытой трубы однородной толщины.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Калькулятор постоянной кручения