Разложение Таккера

В математике, разложение Такера разлагает тензор в набор матриц и одного небольшого тензор ядра. Он назван в честь Ледьярда Р. Такера ^[1], хотя восходит к Хичкоку в 1927 году. ^[2] Первоначально описанный как трехрежимное расширение факторного анализа и анализа главных компонентов, его можно фактически обобщить на анализ более высокого уровня, который является также называется разложением по сингулярным значениям высшего порядка ( HOSVD ).

Ее можно рассматривать как более гибкую модель PARAFAC (параллельный факторный анализ). В PARAFAC основной тензор ограничен «диагональю».

На практике разложение Такера используется как инструмент моделирования. Например, он используется для моделирования трехсторонних (или более высоких) данных с помощью относительно небольшого количества компонентов для каждого из трех или более режимов, и компоненты связаны друг с другом тремя (или более высокими) ) способ основного массива. Параметры модели оцениваются таким образом, чтобы при фиксированном количестве компонентов смоделированные данные оптимально напоминали фактические данные в смысле наименьших квадратов. Модель дает сводку информации в данных так же, как анализ главных компонентов делает для двусторонних данных.

Для тензора 3-го порядка , где либо, либо , разложение Таккера можно обозначить следующим образом: ${\ displaystyle T \ in F ^ {d_ {1} \ times d_ {2} \ times d_ {3}}}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}\times _{2}U^{(2)}\times _{3}U^{(3)}

где - основной тензор , тензор 3-го порядка, который содержит 1-модовые, 2-модовые и 3-модовые сингулярные значения , которые определены как норма Фробениуса для 1-модовых, 2-модовых и 3-модовых срезов. тензора соответственно. - унитарные матрицы в соответственно. J -mode продукт ( J = 1, 2, 3) с помощью обозначается как с элементами , как

{\mathcal {T}}\in F^{d_{1}\times d_{2}\times d_{3}}

T

{\mathcal {T}}

U^{(1)},U^{(2)},U^{(3)}

F^{d_{1}\times d_{1}},F^{d_{2}\times d_{2}},F^{d_{3}\times d_{3}}

{\mathcal {T}}

U^{(j)}

{\mathcal {T}}\times U^{(j)}

{\begin{aligned}({\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)})(d_{1},d_{2},d_{3})&=\sum _{i_{1}=1}^{d_{1}}{\mathcal {T}}(i_{1},d_{2},d_{3})U^{(1)}(d_{1},i_{1})\\({\mathcal {T}}\times _{2}U^{(2)})(d_{1},d_{2},d_{3})&=\sum _{i_{2}=1}^{d_{2}}{\mathcal {T}}(d_{1},i_{2},d_{3})U^{(2)}(d_{2},i_{2})\\({\mathcal {T}}\times _{3}U^{(3)})(d_{1},d_{2},d_{3})&=\sum _{i_{3}=1}^{d_{3}}{\mathcal {T}}(d_{1},d_{2},i_{3})U^{(3)}(d_{3},i_{3})\end{aligned}}

Есть два частных случая разложения Таккера:

Tucker1 : если и идентичны, то $U^{(2)}$ $U^{(3)}$ $T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}$

Tucker2 : если это личность, то . $U^{(3)}$ $T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}\times _{2}U^{(2)}$

Разложение RESCAL ^[3] можно рассматривать как частный случай Такера, где - тождество и равно . $U^{(3)}$ $U^{(1)}$ $U^{(2)}$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Ледьярд Р. Такер (сентябрь 1966). «Некоторые математические заметки по трехрежимному факторному анализу». Психометрика . 31 (3): 279–311. DOI : 10.1007 / BF02289464 . PMID 5221127 .
^ FL Хичкок (1927). «Выражение тензора или полиадики как суммы произведений». Журнал математики и физики . 6 : 164–189.
^ Никель, Максимилиан; Тресп, Фолькер; Кригель, Ханс-Петер (28 июня 2011 г.). Трехсторонняя модель коллективного обучения многореляционным данным . ICML. 11 . С. 809–816.

Эта статья о статистике незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Ледьярд Р. Такер (сентябрь 1966). «Некоторые математические заметки по трехрежимному факторному анализу». Психометрика . 31 (3): 279–311. DOI : 10.1007 / BF02289464 . PMID 5221127 .

[2] FL Хичкок (1927). «Выражение тензора или полиадики как суммы произведений». Журнал математики и физики . 6 : 164–189.

[3] Никель, Максимилиан; Тресп, Фолькер; Кригель, Ханс-Петер (28 июня 2011 г.). Трехсторонняя модель коллективного обучения многореляционным данным . ICML. 11 . С. 809–816.

[1],