В квантовой теории информации идея типичного подпространства играет важную роль в доказательствах многих теорем кодирования (наиболее ярким примером является сжатие Шумахера ). Его роль аналогична типичному множеству в классической теории информации .
Рассмотрим оператор плотности со следующим спектральным разложением :
Слабо типичное подпространство определяется как промежуток всех векторов, таких что энтропия выборки их классической метки близка к истинной энтропии о распределении :
где
проектор на типичное подпространство определяется как
где мы «перегрузили» символ относиться также к набору -типичные последовательности:
Три важных свойства типичного проектора:
где первое свойство выполняется для произвольных и достаточно большой .
Рассмотрим ансамбль штатов. Предположим, что каждое состояниеимеет следующее спектральное разложение :
Рассмотрим оператор плотности что обусловлено классической последовательностью :
Определим слабое условно типичное подпространство как оболочку векторов (условных от последовательности ) такая, что условная энтропия образца их классических меток близка к истинной условной энтропии о распределении :
где
проектор на слабое условно типичное подпространство составляет:
где мы снова перегрузили символ для обозначения множества слабых условно типичных последовательностей:
Три важных свойства слабого условно-типичного проектора таковы:
где первое свойство выполняется для произвольных и достаточно большой , а математическое ожидание относится к распределению .