Классическая емкость

В теории квантовой информации , то классическая емкость из квантового канала является скоростью максимума , при котором классические данные могут быть отправлены на него безошибочные в пределе многих применений канала. Холево , Шумахер и Уэстморленд доказали следующую точную верхнюю оценку классической пропускной способности любого квантового канала :${\ Displaystyle {\ mathcal {N}}}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {N}})=\max _{\rho ^{XA}}I(X;B)_{{\mathcal {N}}(\rho )}}$

где - классико-квантовое состояние следующего вида:${\displaystyle \rho ^{XA}}$

${\displaystyle \rho ^{XA}=\sum _{x}p_{X}(x)\vert x\rangle \langle x\vert ^{X}\otimes \rho _{x}^{A},}$

${\displaystyle p_{X}(x)}$- это распределение вероятностей, каждый из которых является оператором плотности, который может быть введен в канал .${\displaystyle \rho _{x}^{A}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Достижимость с использованием последовательного декодирования [ править ]

Мы кратко рассмотрим теорему HSW-кодирования (утверждение о достижимости скорости передачи информации Холево для передачи классических данных по квантовому каналу). Сначала мы рассмотрим минимальный объем квантовой механики, необходимый для теоремы. Затем мы рассмотрим квантовую типичность и, наконец, докажем теорему, используя недавнюю методику последовательного декодирования.${\displaystyle I(X;B)}$

Обзор квантовой механики [ править ]

Чтобы доказать теорему кодирования HSW, нам действительно нужно несколько основных вещей из квантовой механики . Во-первых, квантовое состояние - это единичный след, положительный оператор, известный как оператор плотности . Обычно, мы обозначим его , , и т.д. простейшую модель для квантового канала известен как классического квантового канала:${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle x\mapsto \rho _{x}.}$

Смысл приведенных выше обозначений заключается в том, что ввод классической буквы на передающем конце приводит к квантовому состоянию на приемном конце. Задача получателя - выполнить измерение, чтобы определить ввод отправителя. Если верно, что состояния полностью различимы друг от друга (т. Е. Если они имеют ортогональные опоры, такие как для ), то канал является бесшумным каналом. Нас интересуют ситуации, в которых это не так. Если верно, что все состояния коммутируют друг с другом, то это фактически идентично ситуации для классического канала, поэтому нас также не интересуют эти ситуации. Итак, нас интересует ситуация, в которой государства${\displaystyle x}$${\displaystyle \rho _{x}}$${\displaystyle \rho _{x}}$${\displaystyle \mathrm {Tr} \,\left\{\rho _{x}\rho _{x^{\prime }}\right\}=0}$${\displaystyle x\neq x^{\prime }}$${\displaystyle \rho _{x}}$${\displaystyle \rho _{x}}$ имеют перекрывающиеся опоры и некоммутативны.

Самый общий способ описания квантового измерения - положительная операторнозначная мера ( POVM ). Обычно мы обозначаем элементы POVM как . Эти операторы должны удовлетворять положительности и полноте, чтобы сформировать действительный POVM:${\displaystyle \left\{\Lambda _{m}\right\}_{m}}$

${\displaystyle \Lambda _{m}\geq 0\ \ \ \ \forall m}$

${\displaystyle \sum _{m}\Lambda _{m}=I.}$

Вероятностная интерпретация квантовой механики гласит, что если кто-то измеряет квантовое состояние с помощью измерительного устройства, соответствующего POVM , то вероятность получения результата равна${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \left\{\Lambda _{m}\right\}}$${\displaystyle p\left(m\right)}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle p\left(m\right)={\text{Tr}}\left\{\Lambda _{m}\rho \right\},}$

и состояние после измерения

${\displaystyle \rho _{m}^{\prime }={\frac {1}{p\left(m\right)}}{\sqrt {\Lambda _{m}}}\rho {\sqrt {\Lambda _{m}}},}$

если измеряющий получает результат . Этих правил достаточно, чтобы рассматривать классические схемы связи по каналам cq.${\displaystyle m}$

Квантовая типичность [ править ]

Читатель может найти хороший обзор этой темы в статье о типичном подпространстве .

Мягкая лемма об операторе [ править ]

Следующая лемма важна для наших доказательств. Он демонстрирует, что измерение, которое в среднем является успешным с высокой вероятностью, в среднем не слишком сильно нарушает состояние:

Лемма: [Winter] Учитывая ансамбль с ожидаемым оператором плотности , предположим , что оператор такой , что удается с высокой вероятностью о состоянии :${\displaystyle \left\{p_{X}\left(x\right),\rho _{x}\right\}}$${\displaystyle \rho \equiv \sum _{x}p_{X}\left(x\right)\rho _{x}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle I\geq \Lambda \geq 0}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\text{Tr}}\left\{\Lambda \rho \right\}\geq 1-\epsilon .}$

Тогда субнормализованное состояние близко по ожидаемому расстоянию трассировки к исходному состоянию :${\displaystyle {\sqrt {\Lambda }}\rho _{x}{\sqrt {\Lambda }}}$${\displaystyle \rho _{x}}$

${\displaystyle \mathbb {E} _{X}\left\{\left\Vert {\sqrt {\Lambda }}\rho _{X}{\sqrt {\Lambda }}-\rho _{X}\right\Vert _{1}\right\}\leq 2{\sqrt {\epsilon }}.}$

(Обратите внимание, что это ядерная норма оператора, так что Tr .)${\displaystyle \left\Vert A\right\Vert _{1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left\Vert A\right\Vert _{1}\equiv }$${\displaystyle \left\{{\sqrt {A^{\dagger }A}}\right\}}$

Нам также пригодится следующее неравенство. Это справедливо для любых операторов , , такие , что :${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle 0\leq \rho ,\sigma ,\Lambda \leq I}$

Теоретико-квантовая интерпретация приведенного выше неравенства состоит в том, что вероятность получения результата квантового измерения, действующего на состояние, ограничена сверху вероятностью получения результата в состоянии, суммированной с различимостью двух состояний и .${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$

Некоммутативная граница объединения [ править ]

Лемма: [Оценка Сена] Следующая оценка верна для субнормализованного состояния, такого что и с , ..., являются проекторами:${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle 0\leq \sigma }$${\displaystyle Tr\left\{\sigma \right\}\leq 1}$${\displaystyle \Pi _{1}}$${\displaystyle \Pi _{N}}$${\displaystyle {\text{Tr}}\left\{\sigma \right\}-{\text{Tr}}\left\{\Pi _{N}\cdots \Pi _{1}\ \sigma \ \Pi _{1}\cdots \Pi _{N}\right\}\leq 2{\sqrt {\sum _{i=1}^{N}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{i}\right)\sigma \right\}}},}$

Мы можем думать о границе Сена как о «некоммутативной границе объединения», потому что она аналогична следующей оценке объединения из теории вероятностей:

${\displaystyle \Pr \left\{\left(A_{1}\cap \cdots \cap A_{N}\right)^{c}\right\}=\Pr \left\{A_{1}^{c}\cup \cdots \cup A_{N}^{c}\right\}\leq \sum _{i=1}^{N}\Pr \left\{A_{i}^{c}\right\},}$

где \ ldots - события. Аналогичная граница для логики проектора будет${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{N}}$

${\displaystyle {\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{1}\cdots \Pi _{N}\cdots \Pi _{1}\right)\rho \right\}\leq \sum _{i=1}^{N}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{i}\right)\rho \right\},}$

если мы думаем об этом как о проекторе на пересечение подпространств. Хотя выше связан имеет место только , если проекторы , ..., коммутирующие (выбор , и дает контрпример). Если проекторы не коммутируют, то оценка Сена - следующая лучшая вещь, которая подходит для наших целей.${\displaystyle \Pi _{1}\cdots \Pi _{N}}$${\displaystyle \Pi _{1}}$${\displaystyle \Pi _{N}}$${\displaystyle \Pi _{1}=\left\vert +\right\rangle \left\langle +\right\vert }$${\displaystyle \Pi _{2}=\left\vert 0\right\rangle \left\langle 0\right\vert }$${\displaystyle \rho =\left\vert 0\right\rangle \left\langle 0\right\vert }$

Теорема HSW с некоммутативной оценкой объединения [ править ]

Теперь мы докажем теорему HSW с некоммутативной оценкой объединения Сена. Мы разделим доказательство на несколько частей: генерация кодовой книги, построение POVM и анализ ошибок.

Создание кодовой книги. Сначала мы опишем, как Алиса и Боб соглашаются на случайный выбор кода. У них есть канал и распространение . Они выбирают классические последовательности в соответствии с распределением IID \ . После выбора они помечают их индексами как . Это приводит к следующим квантовым кодовым словам:${\displaystyle x\rightarrow \rho _{x}}$${\displaystyle p_{X}\left(x\right)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle p_{X^{n}}\left(x^{n}\right)}$${\displaystyle \left\{x^{n}\left(m\right)\right\}_{m\in \left[M\right]}}$

${\displaystyle \rho _{x^{n}\left(m\right)}=\rho _{x_{1}\left(m\right)}\otimes \cdots \otimes \rho _{x_{n}\left(m\right)}.}$

Тогда квантовая кодовая книга . Среднее состояние кодовой книги тогда${\displaystyle \left\{\rho _{x^{n}\left(m\right)}\right\}}$

где .${\displaystyle \rho =\sum _{x}p_{X}\left(x\right)\rho _{x}}$

Строительство POVM . Оценка Sens из приведенной выше леммы предлагает Бобу метод декодирования состояния, которое передает Алиса. Боб сначала должен спросить: «Находится ли полученное состояние в среднем типичном подпространстве?» Он может сделать это оперативно, выполнив типичное измерение подпространства, соответствующее . Затем он последовательно спрашивает: «Находится ли полученное кодовое слово в условно типичном подпространстве?» Это в некотором смысле эквивалентно вопросу: «Является ли полученное кодовое слово переданным кодовым словом?» Эти вопросы он может задать оперативно, выполнив измерения, соответствующие условно типовым проекторам .${\displaystyle \left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n},I-\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}}$${\displaystyle m^{\text{th}}}$${\displaystyle m^{\text{th}}}$${\displaystyle \left\{\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}}$

Почему эта схема последовательного декодирования должна хорошо работать? Причина в том, что переданное кодовое слово в среднем лежит в типичном подпространстве:

${\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }\ \rho _{X^{n}}\right\}\right\}={\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }\ \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\rho _{X^{n}}\right\}\right\}}$

${\displaystyle ={\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }\ \rho ^{\otimes n}\right\}}$

${\displaystyle \geq 1-\epsilon ,}$

где неравенство следует из (\ ref {eq: 1st-typ-prop}). Кроме того, проекторы являются «хорошими детекторами» состояний (в среднем), потому что из условной квантовой типичности выполняется следующее условие:${\displaystyle \Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }}$${\displaystyle \rho _{x^{n}\left(m\right)}}$

${\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}},\delta }\ \rho _{X^{n}}\right\}\right\}\geq 1-\epsilon .}$

Анализ ошибок . Вероятность правильного обнаружения кодового слова в нашей схеме последовательного декодирования равна${\displaystyle m^{\text{th}}}$

${\displaystyle {\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{x^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\},}$

где делаем аббревиатуру . (Обратите внимание, что мы проецируем в среднее типичное подпространство только один раз.) Таким образом, вероятность неправильного обнаружения кодового слова определяется выражением${\displaystyle {\hat {\Pi }}\equiv I-\Pi }$${\displaystyle m^{\text{th}}}$

${\displaystyle 1-{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{x^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\},}$

а средняя вероятность ошибки этой схемы равна

${\displaystyle 1-{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{x^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}.}$

Вместо анализа средней вероятности ошибки мы анализируем математическое ожидание средней вероятности ошибки, где математическое ожидание относится к случайному выбору кода:

Наш первый шаг - применить привязку Сена к указанному выше количеству. Но перед этим мы должны немного переписать приведенное выше выражение, заметив, что

${\displaystyle 1=\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}\right\}}$

${\displaystyle =\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}+{\text{Tr}}\left\{{\hat {\Pi }}_{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}\right\}}$

${\displaystyle =\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}+{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{{\hat {\Pi }}_{\rho ,\delta }^{n}\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}\right\}}$

${\displaystyle =\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}+{\text{Tr}}\left\{{\hat {\Pi }}_{\rho ,\delta }^{n}\rho ^{\otimes n}\right\}}$

${\displaystyle \leq \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}+\epsilon }$

Подстановка в ( 3 ) (забыв пока о малом члене) дает верхнюю оценку${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}}$

${\displaystyle -\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{X^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}\right\}.}$

Затем мы применяем Sen это связано с этим выражением с и последовательными проекторами , как , , ..., . Это дает верхнюю границу. Из-за вогнутости квадратного корня мы можем ограничить это выражение сверху соотношением${\displaystyle \sigma =\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}}$${\displaystyle \Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }}$${\displaystyle {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }}$${\displaystyle {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }}$${\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left[{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right]^{1/2}\right\}.}$

${\displaystyle 2\left[\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle \leq 2\left[\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i\neq m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}\right]^{1/2},}$

где вторая оценка следует путем суммирования по всем кодовым словам, не равным кодовому слову (эта сумма может быть только больше).${\displaystyle m^{\text{th}}}$

Теперь мы сосредоточимся исключительно на том, чтобы показать, что член квадратного корня можно сделать маленьким. Рассмотрим первый член:

${\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}}$

${\displaystyle \leq \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}+\left\Vert \rho _{X^{n}\left(m\right)}-\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\Vert _{1}\right\}}$

${\displaystyle \leq \epsilon +2{\sqrt {\epsilon }}.}$

где первое неравенство следует из ( 1 ), а второе неравенство следует из леммы о мягком операторе и свойств безусловной и условной типичности. Рассмотрим теперь второй член и следующую цепочку неравенств:

${\displaystyle \sum _{i\neq m}\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{X^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}}$

${\displaystyle =\sum _{i\neq m}{\text{Tr}}\left\{\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}}$

${\displaystyle =\sum _{i\neq m}{\text{Tr}}\left\{\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho ^{\otimes n}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}}$

${\displaystyle \leq \sum _{i\neq m}2^{-n\left[H\left(B\right)-\delta \right]}\ {\text{Tr}}\left\{\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}}$

Первое равенство следует из-за того, что кодовые слова и независимы, поскольку они различны. Второе равенство следует из ( 2 ). Первое неравенство следует из (\ ref {eq: 3rd-typ-prop}). Продолжая, у нас есть${\displaystyle X^{n}\left(m\right)}$${\displaystyle X^{n}\left(i\right)}$

${\displaystyle \leq \sum _{i\neq m}2^{-n\left[H\left(B\right)-\delta \right]}\ \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\right\}}$

${\displaystyle \leq \sum _{i\neq m}2^{-n\left[H\left(B\right)-\delta \right]}\ 2^{n\left[H\left(B|X\right)+\delta \right]}}$

${\displaystyle =\sum _{i\neq m}2^{-n\left[I\left(X;B\right)-2\delta \right]}}$

${\displaystyle \leq M\ 2^{-n\left[I\left(X;B\right)-2\delta \right]}.}$

Первое неравенство следует из обмена следом с математическим ожиданием. Второе неравенство следует из (\ ref {eq: 2nd-cond-typ}). Следующие два просты.${\displaystyle \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq I}$

Собирая все вместе, мы получаем окончательную оценку ожидания средней вероятности ошибки:

${\displaystyle 1-\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{X^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}\right\}}$

${\displaystyle \leq \epsilon +2\left[\left(\epsilon +2{\sqrt {\epsilon }}\right)+M\ 2^{-n\left[I\left(X;B\right)-2\delta \right]}\right]^{1/2}.}$

Таким образом, пока мы выбираем , существует код с нулевой вероятностью ошибки.${\displaystyle M=2^{n\left[I\left(X;B\right)-3\delta \right]}}$

См. Также [ править ]

• Классическая емкость с помощью сцепления
• Квантовая емкость
• Квантовая теория информации
• Типичное подпространство

Ссылки [ править ]

• Холево, Александр С. (1998), "Пропускная способность квантового канала с общими состояниями сигналов", IEEE Transactions on Information Theory , 44 (1): 269–273, arXiv : Quant-ph / 9611023 , doi : 10.1109 / 18.651037.
• Шумахер, Бенджамин; Уэстморленд, Майкл (1997), "Отправка классической информации через шумные квантовые каналы", Phys. Rev. A , 56 (1): 131-138, Bibcode : 1997PhRvA..56..131S , DOI : 10,1103 / PhysRevA.56.131.
• Уайлд, Марк М. (2017), квантовая теория информации , Cambridge University Press, arXiv : 1106.1445 , Bibcode : 2011arXiv1106.1445W , doi : 10.1017 / 9781316809976.001
• Сен, Пранаб (2012), «Достижение внутренней границы Хана-Кобаяши для канала квантовой интерференции путем последовательного декодирования», Международный симпозиум IEEE по теории информации (ISIT 2012) , стр. 736–740, arXiv : 1109.0802 , doi : 10.1109 /ISIT.2012.6284656.
• Гуха, Сайкат; Тан, Си-Хуэй; Уайльд, Марк М. (2012), «Приемники, обеспечивающие явную пропускную способность для оптической связи и квантового считывания», IEEE International Symposium on Information Theory Proceedings (ISIT 2012) , стр. 551–555, arXiv : 1202.0518 , doi : 10.1109 / ISIT .2012.6284251.