Квантовая емкость

В теории квантовой связи , то квантовая емкость является высокой скоростью , при которой квантовой информация может быть передана в течение многих независимого использования шумного квантового канала от отправителя к получателю. Он также равен наивысшей скорости, с которой может возникнуть запутанность по каналу, и прямая классическая коммуникация не может ее улучшить. Теорема о квантовой емкости важна для теории квантовой коррекции ошибок и в более широком смысле для теории квантовых вычислений . Теорема, дающая нижнюю границу квантовой пропускной способности любого канала, в просторечии известна как теорема LSD, в честь авторов Ллойда., ^[1] Шор , ^[2] и Деветак ^[3], которые доказали это с растущими стандартами строгости.

Ограничение хеширования для каналов Паули [ править ]

LSD теорема утверждает , что когерентная информация о квантовом канале достижимая скорость для надежной квантовой связи. Для Паули канала , то когерентная информация имеет простую форму ^{[ править ]} и доказательство того, что это достижимо является особенно простым , а также. Мы ^{[ кто? ]} докажите теорему для этого особого случая, используя случайные коды стабилизатора и исправляя только вероятные ошибки, которые производит канал.

Теорема (оценка хеширования). Существует стабилизирующий квантовый код исправления ошибок, который достигает предела хеширования для канала Паули следующей формы:${\ Displaystyle R = 1-H \ влево (\ mathbf {p} \ right)}$

${\ displaystyle \ rho \ mapsto p_ {I} \ rho + p_ {X} X \ rho X + p_ {Y} Y \ rho Y + p_ {Z} Z \ rho Z,}$

где и - энтропия этого вектора вероятности.${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ left (p_ {I}, p_ {X}, p_ {Y}, p_ {Z} \ right)}$${\displaystyle H\left(\mathbf {p} \right)}$

Доказательство . Попробуйте исправить только типичные ошибки. То есть рассмотрите возможность определения типичного набора ошибок следующим образом:

${\displaystyle T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\equiv \left\{a^{n}:\left\vert -{\frac {1}{n}}\log _{2}\left(\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\right)-H\left(\mathbf {p} \right)\right\vert \leq \delta \right\},}$

где - некоторая последовательность, состоящая из букв, а - вероятность того, что канал Паули IID выдаст некоторую ошибку тензорного произведения . Этот типичный набор состоит из вероятных ошибок в том смысле, что${\displaystyle a^{n}}$${\displaystyle \left\{I,X,Y,Z\right\}}$${\displaystyle \Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}}$${\displaystyle E_{a^{n}}\equiv E_{a_{1}}\otimes \cdots \otimes E_{a_{n}}}$

${\displaystyle \sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\geq 1-\epsilon ,}$

для всех и достаточно большой . Условия исправления ошибок ^[4] для кода стабилизатора в этом случае заключаются в том, что это исправляемый набор ошибок, если${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \{E_{a^{n}}:a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\}}$

${\displaystyle E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\notin N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}},}$

для всех пар ошибок и таким образом, что , когда это нормализатор из . Также рассматривается математическое ожидание вероятности ошибки при случайном выборе кода стабилизатора.${\displaystyle E_{a^{n}}}$${\displaystyle E_{b^{n}}}$${\displaystyle a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}$${\displaystyle N({\mathcal {S}})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Действуйте следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{p_{e}\right\}&=\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{\sum _{a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}\\&\leq \mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}+\epsilon \\&=\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}+\epsilon \\&=\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right\}+\epsilon .\end{aligned}}}$

Первое равенство следует по определению - это индикаторная функция, равная единице, если она не исправима, и равна нулю в противном случае. Первое неравенство следует, так как мы исправляем только типичные ошибки, потому что набор нетипичных ошибок имеет пренебрежимо малую массу вероятности. Второе равенство следует путем обмена математическим ожиданием и суммой. Третье равенство следует из того, что ожидание индикаторной функции - это вероятность того, что событие, которое она выбирает, произойдет. Продолжая, у нас есть${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle E_{a^{n}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle =\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\exists E_{b^{n}}:b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n},\ E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}}\right\}}$

${\displaystyle \leq \sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{A^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\exists E_{b^{n}}:b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n},\ E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}}$

${\displaystyle =\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\bigcup \limits _{b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \leq \sum _{a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \leq \sum _{a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}2^{-\left(n-k\right)}}$

${\displaystyle \leq 2^{2n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}2^{-\left(n-k\right)}}$

${\displaystyle =2^{-n\left[1-H\left(\mathbf {p} \right)-k/n-3\delta \right]}.}$

Первое равенство следует из условий исправления ошибок для кода квантового стабилизатора, где - нормализатор . Первое неравенство следует из игнорирования любого потенциального вырождения в коде - мы считаем ошибку неисправимой, если она лежит в нормализаторе, а вероятность может быть только больше, потому что . Второе равенство следует из понимания того, что вероятности критерия существования и совокупности событий эквивалентны. Второе неравенство следует из оценки объединения. Третье неравенство следует из того факта, что вероятность для фиксированного оператора, не равного тождественному, коммутирующего с операторами стабилизатора случайного стабилизатора, может быть ограничена сверху следующим образом:${\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)}$${\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)}$${\displaystyle E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}}$

${\displaystyle \Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}={\frac {2^{n+k}-1}{2^{2n}-1}}\leq 2^{-\left(n-k\right)}.}$

Обоснование здесь состоит в том, что случайный выбор кода стабилизатора эквивалентен фиксированию операторов ... и выполнению равномерно случайной унитарной системы Клиффорда. Вероятность того, что фиксированный оператор коммутирует с , ..., тогда равна просто количеству нетождественных операторов в нормализаторе ( ), деленному на общее количество нетождественных операторов ( ). После применения вышеуказанной границы мы используем следующие границы типичности:${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{n-k}}$${\displaystyle {\overline {Z}}_{1}}$${\displaystyle {\overline {Z}}_{n-k}}$${\displaystyle 2^{n+k}-1}$${\displaystyle 2^{2n}-1}$

${\displaystyle \forall a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}:\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\leq 2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]},}$

${\displaystyle \left\vert T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\right\vert \leq 2^{n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}.}$

Мы заключаем, что до тех пор, пока скорость , математическое ожидание вероятности ошибки становится сколь угодно малым, так что существует по крайней мере один выбор кода стабилизатора с той же самой границей вероятности ошибки.${\displaystyle k/n=1-H\left(\mathbf {p} \right)-4\delta }$

См. Также [ править ]

• Квантовые вычисления

Ссылки [ править ]

• Уайльд, Марк М., 2017, Quantum Information Theory, Cambridge University Press , также доступно в eprint arXiv: 1106.1145