Теорема Холево

Теорема Холево - важная ограничительная теорема квантовых вычислений , междисциплинарной области физики и информатики . Иногда ее называют границей Холево , поскольку она устанавливает верхнюю границу количества информации, которая может быть известна о квантовом состоянии (доступная информация). Его опубликовал Александр Холево в 1973 году.

Доступная информация [ править ]

Что касается нескольких концепций квантовой теории информации, доступная информация лучше всего понимается с точки зрения двустороннего взаимодействия. Итак, мы представляем двух участников, Алису и Боба . У Алисы есть классическая случайная величина X , которая может принимать значения {1, 2, ..., n } с соответствующими вероятностями { p ₁ , p ₂ , ..., p _n }. Затем Алиса подготавливает квантовое состояние , представленное матрицей плотности ρ _X, выбранной из набора { ρ ₁ , ρ ₂ , ... ρ _n} и передает это состояние Бобу. Цель Боба найти значение X , и для того , чтобы сделать это, он выполняет измерение на государственном р _X , получая классический результат, который мы обозначим с Y . В этом контексте количество доступной информации, то есть количество информации, которую Боб может получить о переменной X , является максимальным значением взаимной информации I ( X  : Y ) между случайными величинами X и Y по всем возможные измерения, которые может сделать Боб. ^[1]

В настоящее время нет известной формулы для вычисления доступной информации. Однако существует несколько оценок сверху, самая известная из которых - оценка Холево, указанная в следующей теореме. ^[1]

Формулировка теоремы [ править ]

Пусть { ρ ₁ , ρ ₂ , ..., ρ _n } - набор смешанных состояний, и пусть ρ _X - одно из этих состояний, построенное в соответствии с распределением вероятностей P = { p ₁ , p ₂ , ..., p _n }.

Затем для любого измерения, описанного элементами POVM { E _Y } и выполняемого , количество доступной информации о переменной X, знающей результат Y измерения, ограничивается сверху следующим образом:${\ Displaystyle \ rho = \ сумма _ {X} p_ {X} \ rho _ {X}}$

${\ Displaystyle I (X: Y) \ leq S (\ rho) - \ sum _ {i} p_ {i} S (\ rho _ {i})}$

где и - энтропия фон Неймана .${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i}}$${\displaystyle S(\cdot )}$

Величина в правой части этого неравенства называется информацией Холево или величиной Холево χ :

${\displaystyle \chi :=S(\rho )-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i})}$.

Доказательство [ править ]

Доказательство может быть дано с использованием трех квантовых систем, называемых . может интуитивно восприниматься как подготовка , может рассматриваться как квантовое состояние, подготовленное Алисой и переданное Бобу, и может рассматриваться как измерительный прибор Боба.${\displaystyle P,Q,M}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle M}$

Составная система вначале находится в состоянии${\displaystyle P\otimes Q\otimes M}$

${\displaystyle \rho ^{PQM}:=\sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\otimes |0\rangle \langle 0|}$

Состояние Алисы можно представить как Алису, имеющую значение для случайной величины . Тогда подготовительное состояние - это смешанное состояние, описываемое матрицей плотности , квантовое состояние, данное Бобу, есть , а измерительное устройство Боба находится в исходном состоянии или состоянии покоя . Используя известные результаты квантовой теории информации ^{[ требуется пояснение ],} можно показать, что${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|}$${\displaystyle \sum _{x}p_{x}\rho _{x}}$${\displaystyle |0\rangle }$

${\displaystyle S(P';M')\leq S(P;Q)}$

что после некоторых алгебраических манипуляций можно показать, что оно эквивалентно формулировке теоремы. ^[1]

Комментарии и примечания [ править ]

По сути, граница Холево доказывает, что при n кубитах , хотя они могут «нести» большее количество (классической) информации (благодаря квантовой суперпозиции), количество классической информации, которую можно извлечь , то есть получить к ней , можно только увеличить. до n классических (неквантовых) битов . Это удивительно, по двум причинам: (1) квантовые вычисления настолько часто более мощным , чем классические вычисления, что результаты , которые показывают , что это будет только благо или хуже обычных методов являются необычными, и (2) , так как он принимает комплексные числа в кодируют кубиты, представляющие всего n битов.${\displaystyle 2^{n}}$

Сноски [ править ]

См. Также [ править ]

• Сверхплотное кодирование

Ссылки [ править ]

• Холево, Александр С. (1973). «Границы количества информации, передаваемой по квантовому каналу связи». Проблемы передачи информации . 9 : 177–183.
• Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63235-5. OCLC  43641333 . (см. стр. 531, подраздел 12.1.1 - уравнение (12.6))
• Уайльд, Марк М. (2011). «От классической к квантовой теории Шеннона». arXiv : 1106.1445v2 [ квант-ф ].CS1 maint: ref=harv (link). См., В частности, раздел 11.6 и последующие. Теорема Холево представлена ​​в упражнении 11.9.1 на стр. 288.