Метод « Единичная фиктивная сила» представляет собой удобное средство для вычисления перемещений в конструктивных системах. Она применима как для линейного, так и для нелинейного поведения материала, а также для систем, подверженных влиянию окружающей среды, и, следовательно, более общая, чем вторая теорема Кастильяно .
Дискретные системы
Рассмотрим дискретную систему, такую как фермы, балки или рамы, элементы которых соединены между собой в узлах. Пусть согласованный набор деформаций стержней задается формулой, который может быть вычислен с использованием отношения гибкости члена . Эти деформации стержня вызывают узловые смещения., который мы хотим определить.
Начнем с приложения N виртуальных узловых сил, по одному для каждого требуемого r , и найдите силы виртуальных элементов которые находятся в равновесии с :
В случае статически неопределимой системы матрица B не уникальна, поскольку наборкоторый удовлетворяет узловому равновесию, бесконечно. Его можно вычислить как обратную матрицу узлового равновесия любой первичной системы, полученной из исходной системы.
Представьте себе, что внутренние и внешние виртуальные силы претерпевают, соответственно, реальные деформации и смещения; выполненная виртуальная работа может быть выражена как:
- Внешняя виртуальная работа:
- Внутренняя виртуальная работа:
Согласно принципу виртуальной работы , два рабочих выражения равны:
Подстановка (1) дает
С содержит произвольные виртуальные силы, приведенное выше уравнение дает
Примечательно , что вычисление в формуле (2) не предполагает какой - либо интеграции независимо от сложности систем, и что результат уникален , независимо от выбора основной системы для B . Таким образом, он намного удобнее и универсальнее, чем классическая форма метода фиктивной единичной нагрузки, который зависит от типа системы, а также от внешних воздействий. С другой стороны, важно отметить, что уравнение (2) предназначено только для вычисления перемещений или вращений узлов. Это не ограничение, потому что при желании мы можем превратить любую точку в узел.
Наконец, название единицы нагрузки возникает из интерпретации, что коэффициентыв матрице B - стержневые силы, находящиеся в равновесии с единичной узловой силой, в силу уравнения (1).
Общие системы
Для общей системы метод фиктивной силы также исходит непосредственно из принципа виртуальной работы . На рис. (А) показана система с известными фактическими деформациями.. Эти деформации, предположительно последовательные, вызывают смещения по всей системе. Например, точка A переместилась в точку A ', и мы хотим вычислить смещение r точки A в указанном направлении. Для этой конкретной цели мы выбираем виртуальную силовую систему на рис. (B), которая показывает:
- Единичная сила R * находится в точке A и в направлении r, так что внешняя виртуальная работа, выполняемая R *, равна, учитывая, что работа, выполняемая виртуальными реакциями в (b), равна нулю, потому что их смещения в (a) равны нулю. :
- : Желаемое смещение
- Внутренняя виртуальная работа, выполняемая виртуальными напряжениями, равна
- где виртуальные стрессы должен удовлетворять равновесию везде.
Приравнивание двух рабочих выражений дает желаемое смещение: